(Funções polinomiais quadráticas) Na Matemática, o conjunto dos polinômios quadráticos é um espaço vetorial?

Passo 1

O enunciado pergunta se o conjunto S dos polinômios quadráticos é um espaço vetorial, ou seja, se S com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar satisfaz todas as axiomas de espaço vetorial (em particular, fechamento, existência de vetor zero, inverso aditivo etc.). Precisamos especificar o que é “polinômio quadrático”. Normalmente definimos
S = l,p(x)=ax^2+bx+c mid a,b,cinR e aneq0r
Em S adotamos a soma e a multiplicação por escalar definidas coeficiente a coeficiente.

Passo 2

Um requisito fundamental de espaço vetorial é que o vetor zero (identidade aditiva) pertença ao conjunto. No contexto de polinômios, o vetor zero é o polinômio
p0(x)=0,
que corresponde a a=0, b=0, c=0.
Observamos que p0(x)=0 não está em S, porque em S exigimos aneq0. Logo S não contém o vetor zero, falhando já um dos axiomas.

Passo 3

Além disso, para dois polinômios quadráticos quaisquer em S, p1(x)=a1x^2+b1x+c1 e p2(x)=a2x^2+b2x+c2, sua soma
p1(x)+p2(x)=(a1+a2)x^2+(b1+b2)x+(c1+c2)
pode ter coeficiente de x^2 nulo se a1+a2=0, produzindo um polinômio de grau menor que 2, que também não está em S. Portanto, S não é fechado sob adição.

Resposta

Não. O conjunto dos polinômios de grau exatamente 2 não é um espaço vetorial, pois não contém o polinômio zero e não é fechado sob adição.

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