(Funções polinomiais quadráticas) Na Matemática, o conjunto dos polinômios quadráticos é um espaço vetorial?
Passo 1
O enunciado pergunta se o conjunto
dos polinômios quadráticos é um espaço vetorial, ou seja, se
com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar satisfaz todas as axiomas de espaço vetorial (em particular, fechamento, existência de vetor zero, inverso aditivo etc.). Precisamos especificar o que é “polinômio quadrático”. Normalmente definimos
Em
adotamos a soma e a multiplicação por escalar definidas coeficiente a coeficiente.
Passo 2
Um requisito fundamental de espaço vetorial é que o vetor zero (identidade aditiva) pertença ao conjunto. No contexto de polinômios, o vetor zero é o polinômio
que corresponde a
,
,
.
Observamos que não está em
, porque em
exigimos
. Logo
não contém o vetor zero, falhando já um dos axiomas.
Observamos que
Passo 3
Além disso, para dois polinômios quadráticos quaisquer em
,
e
, sua soma
pode ter coeficiente de
nulo se
, produzindo um polinômio de grau menor que 2, que também não está em
. Portanto,
não é fechado sob adição.
Resposta
Não. O conjunto dos polinômios de grau exatamente 2 não é um espaço vetorial, pois não contém o polinômio zero e não é fechado sob adição.