(2 pt) Determine onde é uma transformação linear com autovetores associados, respectivamente, aos autovalores e 3 .
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear cujos autovetores são , ,
associados, respectivamente, aos autovalores , , .
Como esses três vetores são linearmente independentes, eles formam uma base de .
Para achar basta escrever nessa base, aplicar a cada componente e voltar à base canônica.
Passo 2
Escrevemos
Isso gera o sistema de equações componenciais:
Passo 3
Da segunda equação vem
c = y
Das outras duas, somando a - b = x e a + b = z - c = z - y, obtemos
2a = x + (z - y) Longrightarrow a = x + z - y2
E então
b = a - x = x + z - y2 - x = z - y - x2
Passo 4
Como T age em cada componente por multiplicar o autovetor pelo seu autovalor, temos