(2 pt) Determine T(x, y, z) onde T: R^3 R^3 é uma transformação linear com autovetores (1,0,1),(-1,0,1),(0,1,1) associados, respectivamente, aos autovalores -1,2 e 3 .

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:R^3toR^3 cujos autovetores são
boldsymbol v1=(1,0,1), boldsymbol v2=(-1,0,1), boldsymbol v3=(0,1,1)
associados, respectivamente, aos autovalores lambda1=-1, lambda2=2, lambda3=3.
Como esses três vetores são linearmente independentes, eles formam uma base de R^3.
Para achar T(x,y,z) basta escrever (x,y,z) nessa base, aplicar T a cada componente e voltar à base canônica.

Passo 2

Escrevemos
(x,y,z) = a,(1,0,1) + b,(-1,0,1) + c,(0,1,1)
Isso gera o sistema de equações componenciais:
a - b = x, c = y, a + b + c = z

Passo 3

Da segunda equação vem
c = y
Das outras duas, somando a - b = x e a + b = z - c = z - y, obtemos
2a = x + (z - y) Longrightarrow a = x + z - y2
E então
b = a - x = x + z - y2 - x = z - y - x2

Passo 4

Como T age em cada componente por multiplicar o autovetor pelo seu autovalor, temos
T(x,y,z) = a,lambda1,(1,0,1) + b,lambda2,(-1,0,1) + c,lambda3,(0,1,1)
Substituindo lambda1=-1, lambda2=2, lambda3=3 e os valores de a,b,c:
T(x,y,z) = -a,(1,0,1) + 2b,(-1,0,1) + 3c,(0,1,1)

Passo 5

Fazendo as contas componente a componente e substituindo
a = x+z-y2, b = z-y-x2, c = y,
chegamos à forma final
T(x,y,z) =l(x+3y-3z2,;3y,;-3x+5y+z2r)

Resposta

T(x,y,z)=l(x+3y-3z2,;3y,;-3x+5y+z2r)

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