(Correntes inversamente proporcionais) Em certos sistemas, há relações entre as correntes. Considere o conjunto:
C=(i1, i2) in R^2 mid i1=-2 i2
Esse conjunto pode ser considerado um espaço vetorial?

Passo 1

O enunciado define o conjunto
C = (i1,i2)inR^2mid i1=-2,i2
e pergunta se ele é um espaço vetorial (subespaço de R^2) com as operações usuais. Para isso, precisamos mostrar que C contém o vetor zero, é fechado sob soma de vetores e sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0) pertence a C. Substituindo em i1=-2,i2 temos
0 = -2cdot 0,
logo (0,0)in C.

Passo 3

Fechamento em relação à soma: sejam (i1,i2) e (j1,j2) vetores de C. Então
i1 = -2,i2, j1 = -2,j2
A soma é (i1+j1,,i2+j2). Como
i1+j1 = -2,i2 + (-2,j2) = -2,(i2+j2),
seguimos que (i1+j1,,i2+j2)in C.

Passo 4

Fechamento em relação à multiplicação por escalar: seja alphainR e (i1,i2)in C com i1=-2,i2. Então
alpha,(i1,i2) = (alpha,i1,,alpha,i2)
e
alpha,i1 = alpha,(-2,i2) = -2,(alpha,i2),
logo (alpha,i1,alpha,i2)in C.

Passo 5

Como C contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, ele é um subespaço vetorial de R^2. Além disso, todo vetor de C pode ser escrito como
(i1,i2) = i2,(-2,1),
ou seja,
C = span(-2,1),
que tem dimensão 1.

Resposta

Sim. C é um subespaço vetorial de R^2, de dimensão 1, com base (-2,1).

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