(Modelagem de fenômenos físicos) Muitos fenômenos físicos são modelados por funções polinomiais. Considere o conjunto:
P=p(x)=a x^2+b mid a, b in R
Esse conjunto pode ser considerado um espaço vetorial?

Passo 1

O enunciado define
P = ,p(x) = a x^2 + b mid a,b in R
e pergunta se P é um espaço vetorial sobre R. Como já sabemos que o conjunto de todas as funções RtoR é um espaço vetorial, basta mostrar que P é um subespaço, ou seja, que é não vazio e fechado sob soma e multiplicação escalar.

Passo 2

Fechamento sob soma: tomemos
p1(x) = a1 x^2 + b1, p2(x) = a2 x^2 + b2
com a1,b1,a2,b2inR. Então
(p1 + p2)(x) = (a1 + a2),x^2 + (b1 + b2)
Como a1 + a2 e b1 + b2 são reais, (p1+p2)(x) pertence a P. Logo P é fechado sob soma.

Passo 3

Fechamento sob multiplicação escalar: seja cinR e
p(x) = a x^2 + b
Então
(c,p)(x) = cl(a x^2 + br) = (c,a),x^2 + (c,b)
Como c,a e c,b são reais, c,pin P. Assim, P é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 4

Não vazio: o polinômio zero
p0(x) = 0cdot x^2 + 0 = 0
está em P. E todos os demais axiomas (associatividade, comutatividade da soma, existência de inverso aditivo, etc.) são herdados do espaço vetorial de todas as funções. Portanto, P satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial.

Resposta

Sim, P é um espaço vetorial sobre R.

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