(Modelagem de fenômenos físicos) Muitos fenômenos físicos são modelados por funções polinomiais. Considere o conjunto:
Esse conjunto pode ser considerado um espaço vetorial?
Passo 1
O enunciado define
e pergunta se
é um espaço vetorial sobre
. Como já sabemos que o conjunto de todas as funções
é um espaço vetorial, basta mostrar que
é um subespaço, ou seja, que é não vazio e fechado sob soma e multiplicação escalar.
Passo 2
Fechamento sob soma: tomemos
com
. Então
Como
e
são reais,
pertence a
. Logo
é fechado sob soma.
Passo 3
Fechamento sob multiplicação escalar: seja
e
Então
Como
e
são reais,
. Assim,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 4
Não vazio: o polinômio zero
está em
. E todos os demais axiomas (associatividade, comutatividade da soma, existência de inverso aditivo, etc.) são herdados do espaço vetorial de todas as funções. Portanto,
satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial.
Resposta
Sim,
é um espaço vetorial sobre
.