Para as funções a seguir, encontre o Polinômio de Taylor de grau
em torno de
dado por
,
e use um software para plotar
e
na mesma tela.
.
Passo 1
Vamos achar o polinômio de Taylor de
em torno de
até grau
. O conteúdo aqui é polinômio de Taylor, e vamos precisar das derivadas de
até a terceira ordem, avaliá-las em
e montar
pela fórmula
Passo 2
Derivamos
usando regra do produto e da cadeia:
Passo 3
Agora avaliamos em
:
Passo 4
Substituindo na definição de
:
Passo 5
Para ver como
aproxima
, você pode usar Python e matplotlib. Por exemplo:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def f(x):
return x * np.exp(-2*x)
def T3(x):
return x - 2*x**2 + 2*x**3
x = np.linspace(-1, 3, 400)
plt.plot(x, f(x), label='f(x) = x e^{-2x}')
plt.plot(x, T3(x), '--', label='T_3(x)')
plt.axvline(0, color='gray', linewidth=0.5)
plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Comparação entre f(x) e T_3(x)')
plt.show()