Para as funções a seguir, encontre o Polinômio de Taylor de grau n em torno de a dado por
Tn(x)=sumi=0^n f^(i)(a)i!(x-a)^i,,
e use um software para plotar f e Tn na mesma tela.
f(x)=x e^-2 x, a=0, n=3.

Passo 1

Vamos achar o polinômio de Taylor de f(x)=x e^-2x em torno de a=0 até grau n=3. O conteúdo aqui é polinômio de Taylor, e vamos precisar das derivadas de f até a terceira ordem, avaliá-las em x=0 e montar T3(x) pela fórmula
Tn(x)=sumi=0^n f^(i)(a)i!(x-a)^i

Passo 2

Derivamos f(x)=x e^-2x usando regra do produto e da cadeia:
f'(x)=e^-2x(1-2x),
f''(x)=4e^-2x(x-1),
f'''(x)=4e^-2x(3-2x)

Passo 3

Agora avaliamos em x=0:



Passo 4

Substituindo na definição de T3(x):
T3(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)2!x^2+f'''(0)3!x^3
T3(x)=0+1cdot x+-42x^2+126x^3=x-2x^2+2x^3

Passo 5

Para ver como T3(x) aproxima f(x), você pode usar Python e matplotlib. Por exemplo:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def f(x):
    return x * np.exp(-2*x)

def T3(x):
    return x - 2*x**2 + 2*x**3

x = np.linspace(-1, 3, 400)
plt.plot(x, f(x), label='f(x) = x e^{-2x}')
plt.plot(x, T3(x), '--', label='T_3(x)')
plt.axvline(0, color='gray', linewidth=0.5)
plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Comparação entre f(x) e T_3(x)')
plt.show()

Resposta

T3(x)=x-2x^2+2x^3

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