(Taylor com Resto Integral de primeira ordem) Seja f(x, y)= \cos (x+y). Escreva a fórmula de Taylor de primeira ordem com resto integral em torno do ponto (0,0) na direção do vetor \mathbf{h}=\left(h_{1}, h_{2}\right). Isto é, encontre R_{1} tal que
R_{1}=\int_{0}^{1}(1-t) \mathbf{h}^{T} H_{f}(t \mathbf{h}) \mathbf{h} d t
onde H_{f} é a matriz Hessiana. Calcule explicitamente R_{1} para \mathbf{h}=(0.1,0.2).
Passo 1
O enunciado pede para escrever a fórmula de Taylor de primeira ordem com resto integral em torno de (0,0) para f(x,y)=\cos(x+y) na direção do vetor \mathbf{h}=(h_{1},h_{2}), ou seja encontrar R_{1} tal que
Comentário intuitivo: para essa função f(x,y)=\cos(x+y) a expansão de primeira ordem em torno de zero tem gradiente nulo, então todo o termo além de f(0) fica exatamente no resto — e a expressão acima confirma isso de forma limpa.
Passo 6
Aplicar ao caso numérico \mathbf{h}=(0{,}1,0{,}2).