(Taylor com Resto Integral de primeira ordem) Seja f(x, y)= \cos (x+y). Escreva a fórmula de Taylor de primeira ordem com resto integral em torno do ponto (0,0) na direção do vetor \mathbf{h}=\left(h_{1}, h_{2}\right). Isto é, encontre R_{1} tal que
f(\mathbf{h})=f(\mathbf{0})+\nabla f(\mathbf{0}) \cdot \mathbf{h}+R_{1}
com
R_{1}=\int_{0}^{1}(1-t) \mathbf{h}^{T} H_{f}(t \mathbf{h}) \mathbf{h} d t
onde H_{f} é a matriz Hessiana. Calcule explicitamente R_{1} para \mathbf{h}=(0.1,0.2).

Passo 1

O enunciado pede para escrever a fórmula de Taylor de primeira ordem com resto integral em torno de (0,0) para f(x,y)=\cos(x+y) na direção do vetor \mathbf{h}=(h_{1},h_{2}), ou seja encontrar R_{1} tal que
f(\mathbf{h})=f(\mathbf{0})+\nabla f(\mathbf{0})\cdot\mathbf{h}+R_{1},
com
R_{1}=\int_{0}^{1}(1-t)\,\mathbf{h}^{T}H_{f}(t\mathbf{h})\mathbf{h}\,dt,
onde H_{f} é a matriz Hessiana de f. Depois é pedido calcular explicitamente R_{1} para \mathbf{h}=(0{,}1,0{,}2).
Informações relevantes dadas:
  • f(x,y)=\cos(x+y).
  • O ponto de expansão é \mathbf{0}=(0,0).
  • O vetor de deslocamento é \mathbf{h}=(h_{1},h_{2}), e na aplicação numérica \mathbf{h}=(0{,}1,0{,}2).

Passo 2

Vamos calcular f(\mathbf{0}) e \nabla f(\mathbf{0}).
A função em \mathbf{0} vale
f(\mathbf{0})=\cos(0+0)=\cos(0)=1.
As derivadas parciais são
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=-\sin(x+y),\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-\sin(x+y).
Portanto o gradiente é
\nabla f(x,y)=\bigl(-\sin(x+y),\,-\sin(x+y)\bigr).
Em \mathbf{0} isso dá
\nabla f(\mathbf{0})=\bigl(0,0\bigr).
Comentário didático: o termo linear na expansão será \nabla f(\mathbf{0})\cdot\mathbf{h}=0, pois as componentes do gradiente em \mathbf{0} são nulas.

Passo 3

Calcular a Hessiana H_{f}(x,y).
As segundas derivadas são
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(x,y)=-\cos(x+y),\qquad \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}(x,y)=-\cos(x+y),
\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}(x,y)=-\cos(x+y).
Logo a matriz Hessiana é
H_{f}(x,y)=-\cos(x+y)\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
Explicação curta: como f depende apenas da soma x+y, todas as segundas derivadas diagonais e cruzadas são iguais a -\cos(x+y).]

Passo 4

Calcular o integrando \mathbf{h}^{T}H_{f}(t\mathbf{h})\mathbf{h} de forma simbólica.
Seja S:=h_{1}+h_{2}. Ao avaliar a Hessiana em t\mathbf{h}=(t h_{1},t h_{2}) obtém-se -\cos\bigl(t(h_{1}+h_{2})\bigr)=-\cos(tS), portanto
H_{f}(t\mathbf{h})=-\cos(tS)\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
Multiplicando \mathbf{h}^{T}(\cdot)\mathbf{h}:
\mathbf{h}^{T}H_{f}(t\mathbf{h})\mathbf{h}=-\cos(tS)\,\mathbf{h}^{T}\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}\mathbf{h}.
Calculemos \mathbf{h}^{T}\begin{pmatrix}1 & 1\\\\ 1 & 1\end{pmatrix}\mathbf{h}. Para \mathbf{h}=(h_{1},h_{2}) tem-se
\begin{pmatrix}h_{1} & h_{2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}h_{1}\\[4pt] h_{2}\end{pmatrix} =(h_{1}+h_{2})^{2}=S^{2}.
Portanto
\mathbf{h}^{T}H_{f}(t\mathbf{h})\mathbf{h}=-S^{2}\cos(tS).]

Passo 5

Escrever R_{1} e calcular a integral simbólica.
Pelo enunciado,
R_{1}=\int_{0}^{1}(1-t)\,\mathbf{h}^{T}H_{f}(t\mathbf{h})\mathbf{h}\,dt =\int_{0}^{1}(1-t)\bigl(-S^{2}\cos(tS)\bigr)\,dt.
Ou seja
R_{1}=-S^{2}\int_{0}^{1}(1-t)\cos(tS)\,dt.
Vamos calcular a integral
I(S):=\int_{0}^{1}(1-t)\cos(tS)\,dt.
Separando,
I(S)=\int_{0}^{1}\cos(tS)\,dt-\int_{0}^{1}t\cos(tS)\,dt.
A primeira integral é
\int_{0}^{1}\cos(tS)\,dt=\frac{\sin(tS)}{S}\Big|_{0}^{1}=\frac{\sin S}{S}.
A segunda integral pode ser feita por partes. Tomando u=t e dv=\cos(tS)\,dt temos du=dt e v=\dfrac{\sin(tS)}{S}. Assim
\int_{0}^{1}t\cos(tS)\,dt=\left.\frac{t\sin(tS)}{S}\right|_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\frac{\sin(tS)}{S}\,dt =\frac{\sin S}{S}-\frac{1}{S}\left(-\frac{\cos(tS)}{S}\right)\Big|_{0}^{1}.
Calculando o último termo:
\int_{0}^{1}t\cos(tS)\,dt=\frac{\sin S}{S}+\frac{\cos S-1}{S^{2}}.
Substituindo em I(S):
I(S)=\frac{\sin S}{S}-\left(\frac{\sin S}{S}+\frac{\cos S-1}{S^{2}}\right)=-\frac{\cos S-1}{S^{2}}=\frac{1-\cos S}{S^{2}}.
Portanto
R_{1}=-S^{2}\cdot I(S)=-S^{2}\cdot\frac{1-\cos S}{S^{2}}=-(1-\cos S)=\cos S-1.
Comentário intuitivo: para essa função f(x,y)=\cos(x+y) a expansão de primeira ordem em torno de zero tem gradiente nulo, então todo o termo além de f(0) fica exatamente no resto — e a expressão acima confirma isso de forma limpa.

Passo 6

Aplicar ao caso numérico \mathbf{h}=(0{,}1,0{,}2).
Aqui h_{1}=0{,}1, h_{2}=0{,}2, logo
S=h_{1}+h_{2}=0{,}1+0{,}2=0{,}3.
Usando a fórmula encontrada,
R_{1}=\cos S-1=\cos(0{,}3)-1.
Calculando numericamente (ângulos em radianos):
\cos(0{,}3)\approx 0{,}95533649,
portanto
R_{1}\approx 0{,}95533649-1=-0{,}04466351.

Resposta

\displaystyle R_{1}=\cos(0{,}3)-1\approx-0{,}04466351

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