As funções a seguir são bijetoras. Encontre a função inversa para cada uma delas:
f(x)=2+raiz4-x^2 0 <= x <= 2

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. A gente tem uma função definida por f(x) = 2 + raiz4 - x^2 , onde x varia de 0 a 2 ( 0 <= x <= 2 ). A questão quer que a gente encontre a função inversa dessa função.
Conteúdo da matéria: Funções inversas.
O que vamos precisar para resolver: Saber o que é uma função inversa e como encontrá-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. Basicamente, se você tem uma função f que transforma x em y , a função inversa f^-1 faz o caminho contrário: transforma y de volta em x . Ou seja, se y = f(x) , então x = f^-1(y) .

Passo 3

Agora, para encontrar a função inversa, vamos seguir alguns passos básicos:
  1. Substituir f(x) por y :
y = 2 + raiz4 - x^2
  1. Trocar x e y na equação:
x = 2 + raiz4 - y^2
  1. Resolver essa nova equação para y : Esse será o f^-1(x) .

Passo 4

Vamos resolver a equação x = 2 + raiz4 - y^2 para encontrar y :
  • Primeiro, subtraia 2 de ambos os lados para isolar a raiz:
x - 2 = raiz4 - y^2
  • Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(x - 2)^2 = 4 - y^2

Passo 5

Continuando a resolver para y :
  • Reorganize a equação para isolar y^2 :
y^2 = 4 - (x - 2)^2
  • Agora, tire a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar y :
y = raiz4 - (x - 2)^2

Passo 6

Finalmente, a função inversa de f(x) é:
f^-1(x) = raiz4 - (x - 2)^2

Resposta

A função inversa é f^-1(x) = raiz4 - (x - 2)^2 .

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