Mostre que os gráficos de f^-1 e f são reflexos um do outro em relação à reta y=x, verificando o que se segue: (a) Se P(u, v) está no gráfico de f. então. Q(v u) está no gráfico de f^-1. (b) O ponto médio do segmento de reta P Q está na reta y=x. (c) A reta P Q é perpendicular à reta y=x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para mostrarmos que os gráficos de f^-1 e f são reflexos um do outro em relação à reta y = x . Isso envolve conceitos de funções inversas e propriedades geométricas de gráficos de funções. Vamos precisar entender o que significa uma função inversa e como as coordenadas dos pontos nos gráficos se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma função inversa. Se f é uma função que associa cada x a um único y , então a função inversa f^-1 faz o contrário: ela associa cada y de volta ao x . Ou seja, se f(x) = y , então f^-1(y) = x .

Passo 3

Agora, vamos para a parte (a) do exercício: “Se P(u, v) está no gráfico de f , então Q(v, u) está no gráfico de f^-1 .” Vamos entender isso.
Se P(u, v) está no gráfico de f , isso significa que f(u) = v . Aplicando a definição da função inversa, f^-1(v) = u . Portanto, o ponto Q(v, u) tem as coordenadas invertidas e satisfaz f^-1(v) = u , o que significa que Q está no gráfico de f^-1 . Assim, mostramos que Q(v, u) está no gráfico de f^-1 .

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b): “O ponto médio do segmento de reta PQ está na reta y = x .” Vamos encontrar as coordenadas do ponto médio entre P(u, v) e Q(v, u) .
As fórmulas para o ponto médio M entre P(x1, y1) e Q(x2, y2) são:
M( x1 + x22, y1 + y22 )
Aplicando isso para P(u, v) e Q(v, u) :
M( u + v2, v + u2 ) = M( u + v2, u + v2 )
Perceba que as coordenadas x e y de M são iguais, ou seja, M está na reta y = x .

Passo 5

Finalmente, a parte (c): “A reta PQ é perpendicular à reta y = x .” Para mostrar isso, vamos calcular o coeficiente angular da reta PQ e da reta y = x e ver se eles são negativos inversos.
A reta y = x tem coeficiente angular m1 = 1 .
Para a reta PQ , com pontos P(u, v) e Q(v, u) , o coeficiente angular m2 é:
m2 = u - vv - u = u - v-(u - v) = -1
Vemos que m2 = -1 e m1 = 1 , então m1 times m2 = -1 , o que confirma que as retas são perpendiculares.

Resposta

Mostramos que os gráficos de f e f^-1 são reflexos um do outro em relação à reta y = x , verificando que:
a) Se P(u, v) está no gráfico de f , então Q(v, u) está no gráfico de f^-1 .
b) O ponto médio de PQ está na reta y = x .
c) A reta PQ é perpendicular à reta y = x .

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