Mostre que os gráficos de
e
são reflexos um do outro em relação à reta
, verificando o que se segue:
está no gráfico de
. então.
está no gráfico de
. (b) O ponto médio do segmento de reta
está na reta
. (c) A reta
é perpendicular à reta
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para mostrarmos que os gráficos de
e
são reflexos um do outro em relação à reta
. Isso envolve conceitos de funções inversas e propriedades geométricas de gráficos de funções. Vamos precisar entender o que significa uma função inversa e como as coordenadas dos pontos nos gráficos se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma função inversa. Se
é uma função que associa cada
a um único
, então a função inversa
faz o contrário: ela associa cada
de volta ao
. Ou seja, se
, então
.
Passo 3
Agora, vamos para a parte (a) do exercício: “Se
está no gráfico de
, então
está no gráfico de
.” Vamos entender isso.
Se
está no gráfico de
, isso significa que
. Aplicando a definição da função inversa,
. Portanto, o ponto
tem as coordenadas invertidas e satisfaz
, o que significa que
está no gráfico de
. Assim, mostramos que
está no gráfico de
.
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b): “O ponto médio do segmento de reta
está na reta
.” Vamos encontrar as coordenadas do ponto médio entre
e
.
As fórmulas para o ponto médio
entre
e
são:
Aplicando isso para
e
:
Perceba que as coordenadas
e
de
são iguais, ou seja,
está na reta
.
Passo 5
Finalmente, a parte (c): “A reta
é perpendicular à reta
.” Para mostrar isso, vamos calcular o coeficiente angular da reta
e da reta
e ver se eles são negativos inversos.
A reta
tem coeficiente angular
.
Para a reta
, com pontos
e
, o coeficiente angular
é:
Vemos que
e
, então
, o que confirma que as retas são perpendiculares.
Resposta
Mostramos que os gráficos de
e
são reflexos um do outro em relação à reta
, verificando que:
a) Se
está no gráfico de
, então
está no gráfico de
.
b) O ponto médio de
está na reta
.
c) A reta
é perpendicular à reta
.