As funções a seguir são bijetoras. Encontre a função inversa para cada uma delas:
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos a função
definida no intervalo
. Nosso objetivo aqui é encontrar a função inversa dessa função. Isso significa que queremos descobrir uma função
tal que, se você aplicar
e depois
, você volta ao ponto de partida.
Passo 2
Para encontrar a função inversa, vamos seguir alguns passos básicos:
- Trocar
por :
- Isolar a raiz quadrada:
- Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
- Isolar
:
- Tirar a raiz quadrada de ambos os lados:
Como estamos lidando com
, não precisamos considerar a solução negativa da raiz.
Passo 3
Agora, substituímos
por
para expressar a função inversa:
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b). Aqui, a função é a mesma
, mas o domínio mudou para
. Nosso objetivo continua sendo encontrar a função inversa dessa nova função.
Passo 5
Seguimos os mesmos passos:
- Trocar
por :
- Isolar a raiz quadrada:
- Elevar ao quadrado:
- Isolar
:
- Tirar a raiz quadrada:
Desta vez, como
está entre
e
, consideramos a solução negativa da raiz.
Passo 6
Substituindo
por
:
Passo 7
Vamos para a parte (c):
com
. Queremos achar a função inversa dessa função.
Passo 8
Aplicamos os mesmos passos:
- Trocar
por :
- Isolar a raiz quadrada:
- Elevar ao quadrado:
- Isolar
:
- Tirar a raiz quadrada:
Como
está entre
e
, consideramos a solução positiva da raiz.
Passo 9
Substituindo
por
:
Passo 10
Finalmente, a parte (d):
com
. Nosso objetivo é encontrar a função inversa dessa função.
Passo 11
Seguimos os mesmos passos:
- Trocar
por :
- Isolar a raiz quadrada:
- Elevar ao quadrado:
- Isolar
:
- Tirar a raiz quadrada:
Como
está entre
e
, consideramos a solução negativa da raiz.
Passo 12
Substituindo
por
:
Resposta
A função inversa é: