As funções a seguir são bijetoras. Encontre a função inversa para cada uma delas:
(a) f(x)=2+raiz4-x^2 0 <= x <= 2
(b) f(x)=2+raiz4-x^2 -2 <= x <= 0
(c) f(x)=2-raiz4-x^2 0 <= x <= 2
(d) f(x)=2-raiz4-x^2 -2 <= x <= 0

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos a função f(x) = 2 + raiz4 - x^2 definida no intervalo 0 <= x <= 2 . Nosso objetivo aqui é encontrar a função inversa dessa função. Isso significa que queremos descobrir uma função f^-1(y) tal que, se você aplicar f e depois f^-1 , você volta ao ponto de partida.

Passo 2

Para encontrar a função inversa, vamos seguir alguns passos básicos:
  1. Trocar f(x) por y :
y = 2 + raiz4 - x^2
  1. Isolar a raiz quadrada:
y - 2 = raiz4 - x^2
  1. Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(y - 2)^2 = 4 - x^2
  1. Isolar x^2 :
x^2 = 4 - (y - 2)^2
  1. Tirar a raiz quadrada de ambos os lados:
x = raiz4 - (y - 2)^2
Como estamos lidando com 0 <= x <= 2 , não precisamos considerar a solução negativa da raiz.

Passo 3

Agora, substituímos x por f^-1(y) para expressar a função inversa:
f^-1(y) = raiz4 - (y - 2)^2

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b). Aqui, a função é a mesma f(x) = 2 + raiz4 - x^2 , mas o domínio mudou para -2 <= x <= 0 . Nosso objetivo continua sendo encontrar a função inversa dessa nova função.

Passo 5

Seguimos os mesmos passos:
  1. Trocar f(x) por y :
y = 2 + raiz4 - x^2
  1. Isolar a raiz quadrada:
y - 2 = raiz4 - x^2
  1. Elevar ao quadrado:
(y - 2)^2 = 4 - x^2
  1. Isolar x^2 :
x^2 = 4 - (y - 2)^2
  1. Tirar a raiz quadrada:
x = -raiz4 - (y - 2)^2
Desta vez, como x está entre -2 e 0 , consideramos a solução negativa da raiz.

Passo 6

Substituindo x por f^-1(y) :
f^-1(y) = -raiz4 - (y - 2)^2

Passo 7

Vamos para a parte (c): f(x) = 2 - raiz4 - x^2 com 0 <= x <= 2 . Queremos achar a função inversa dessa função.

Passo 8

Aplicamos os mesmos passos:
  1. Trocar f(x) por y :
y = 2 - raiz4 - x^2
  1. Isolar a raiz quadrada:
raiz4 - x^2 = 2 - y
  1. Elevar ao quadrado:
4 - x^2 = (2 - y)^2
  1. Isolar x^2 :
x^2 = 4 - (2 - y)^2
  1. Tirar a raiz quadrada:
x = raiz4 - (2 - y)^2
Como x está entre 0 e 2 , consideramos a solução positiva da raiz.

Passo 9

Substituindo x por f^-1(y) :
f^-1(y) = raiz4 - (2 - y)^2

Passo 10

Finalmente, a parte (d): f(x) = 2 - raiz4 - x^2 com -2 <= x <= 0 . Nosso objetivo é encontrar a função inversa dessa função.

Passo 11

Seguimos os mesmos passos:
  1. Trocar f(x) por y :
y = 2 - raiz4 - x^2
  1. Isolar a raiz quadrada:
raiz4 - x^2 = 2 - y
  1. Elevar ao quadrado:
4 - x^2 = (2 - y)^2
  1. Isolar x^2 :
x^2 = 4 - (2 - y)^2
  1. Tirar a raiz quadrada:
x = -raiz4 - (2 - y)^2
Como x está entre -2 e 0 , consideramos a solução negativa da raiz.

Passo 12

Substituindo x por f^-1(y) :
f^-1(y) = -raiz4 - (2 - y)^2

Resposta

A função inversa é:
f^-1(y) = -raiz4 - (2 - y)^2

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