Dada f(x)=x^4+2 x^3+6 x^2+8 x+8. calcule:
(a) f(-3)
(b) f(2 i)
(c) f(3-i)
(d) f(-1+i).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^4+2x^3+6x^2+8x+8
e pede para calcular f(-3), f(2i), f(3-i) e f(-1+i). Vamos usar a definição de polinômio (substituir x pelos valores dados) e as regras de aritmética com números complexos ( i^2=-1, i^3=-i, i^4=1) para simplificar.

Passo 2

Calcular f(-3). Substituindo x=-3:
f(-3)=(-3)^4+2(-3)^3+6(-3)^2+8(-3)+8
Agora computamos cada termo:
(-3)^4=81, 2(-3)^3=2cdot(-27)=-54, 6(-3)^2=6cdot9=54, 8(-3)=-24
Somando tudo:
f(-3)=81-54+54-24+8=(81-54)+(54-24)+8=27+30+8=65

Passo 3

Calcular f(2i). Substituindo x=2i:
f(2i)=(2i)^4+2(2i)^3+6(2i)^2+8(2i)+8
Usando potências de i:
(2i)^4=16,i^4=16cdot1=16,
2(2i)^3=2cdot8,i^3=16,i^3=16(-i)=-16i,
6(2i)^2=6cdot4,i^2=24(-1)=-24,
8(2i)=16i
Logo
f(2i)=16-16i-24+16i+8=(16-24+8)+(-16i+16i)=0+0i=0

Passo 4

Calcular f(3-i). Seja z=3-i. Primeiro obtenho as potências:
z^2=(3-i)^2=9-6i+i^2=8-6i,
z^3=z^2cdot z=(8-6i)(3-i)=24-8i-18i+6i^2=18-26i,
z^4=z^2cdot z^2=(8-6i)^2=64-96i+36i^2=28-96i
Agora
f(3-i)=z^4+2z^3+6z^2+8z+8
=(28-96i)+2(18-26i)+6(8-6i)+8(3-i)+8
=28-96i+36-52i+48-36i+24-8i+8
=(28+36+48+24+8)+(-96-52-36-8)i
=144-192i

Passo 5

Calcular f(-1+i). Seja w=-1+i. As potências são:
w^2=(-1+i)^2=1-2i+i^2=-2i,
w^3=w^2cdot w=(-2i)(-1+i)=2i-2i^2=2+2i,
w^4=(w^2)^2=(-2i)^2=4,i^2=-4
Logo
f(-1+i)=w^4+2w^3+6w^2+8w+8
=-4+2(2+2i)+6(-2i)+8(-1+i)+8
=-4+4+4i-12i-8+8i+8
=(-4+4-8+8)+(4i-12i+8i)=0+0i=0

Resposta

(a) 65
(b) 0
(c) 144 - 192i
(d) 0

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