As funções a seguir são contínuas ou descontínuas? Em caso de descontinuidade, diga se são removíveis ou essenciais e redefina a função, quando for possível, de forma a ter uma função contínua.
lx^2-1, x<3 2 x, x >= 3;

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função por partes
f(x)=x^2-1,&x<32x,&x>=3.
O conteúdo é continuidade de funções definidas por partes e precisamos verificar se há descontinuidade em x=3.

Passo 2

Para x<3 a expressão é o polinômio x^2-1, que é contínuo em toda reta. Para x>3 temos o polinômio 2x, também contínuo.

Passo 3

Cálculo dos limites laterais em x=3:
limxto3^-f(x)=limxto3^-(x^2-1)=3^2-1=8
limxto3^+f(x)=limxto3^+2x=2cdot3=6
O valor da função em x=3 é f(3)=2cdot3=6.

Passo 4

Como limxto3^-f(x)=8ne6=limxto3^+f(x), o limite bilateral não existe. Isso caracteriza uma descontinuidade do tipo salto (essencial) em x=3.

Passo 5

Para remover uma descontinuidade seria preciso que o limite bilateral existisse, mas aqui 8ne6, então não há como redefinir f(3) para tornar a função contínua.

Passo 6

Conclusão: a função é contínua em todo R exceto em x=3, onde ocorre descontinuidade essencial do tipo salto. Não é possível redefinir f(3) para consertar a descontinuidade.

Resposta

Contínua para xne3. Em x=3 há descontinuidade essencial (salto) e não dá para redefinir f(3) para ficar contínua.

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