As funções a seguir, que se supõem ser periódicas e de período 2 pi, são pares, ímpares, ou nem pares nem ímpares?

Passo 1

O enunciado pede para analisar a paridade da extensão periódica de período 2pi da função f(x)=x^2 definida originalmente em -tfracpi2. Vamos usar a definição de função par ( f(-x)=f(x)) e ímpar ( f(-x)=-f(x)), lembrando de aproveitar a periodicidade quando -x sair do intervalo principal.

Passo 2

Para testar paridade, calculamos f(-x). Se -x ainda estiver em -tfracpi2,tfrac3pi2, então f(-x)=(-x)^2=x^2. Mas para valores de x>tfracpi2, temos -x< -tfracpi2, e usamos a periodicidade:

Passo 3

f(-x)=f(-x+2pi)=(2pi - x)^2 =4pi^2 -4pi x + x^2

Passo 4

Como (2pi - x)^2 não é igual a x^2 em geral, a função não é par. Também claramente f(-x)neq -x^2=-f(x), então não é ímpar nem satisfaz a definição de paridade.

Resposta

A extensão periódica de f(x)=x^2 não é nem par nem ímpar.

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