Usando uma série de potências adequada, aproxime cada integral dada abaixo com 4 casas decimais:
integral0^1 sen(x)x d x

Passo 1

A gente quer aproximar a integral integral0^1 sin(x)x ,dx usando uma série de potências. O conteúdo principal é a série de Maclaurin para sin(x) e a integração termo a termo dessa série.

Passo 2

A série de Maclaurin para sin(x) é dado por:
sin(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1(2n+1)!
Para obter a série de sin(x)x, basta dividir cada termo por x. Assim:
sin(x)x = sumn=0^infty (-1)^n x^2n(2n+1)!
Agora integramos termo a termo no intervalo [0,1]. Como a série converge uniformemente em [0,1], podemos trocar soma e integral. Temos
integral0^1 sin(x)x ,dx = sumn=0^infty (-1)^n integral0^1 x^2n(2n+1)! ,dx = sumn=0^infty (-1)^n 1(2n+1)!cdot 12n+1

Passo 3

A soma acima é uma série alternada com termos an = 1(2n+1)!(2n+1) que decrescem em magnitude. Pelo critério de Leibniz, o erro ao truncar após N termos é menor que aN+1. Para 4 casas decimais precisamos que o próximo termo seja menor que 5times10^-5.
Vamos calcular os primeiros termos e a soma parcial até que o termo seguinte fique abaixo de 5times10^-5:
  • n=0: 11!cdot1=1.0000000
  • n=1: -13!cdot3=-0.0555556
  • n=2: 15!cdot5=0.0016667
  • n=3: -17!cdot7=-0.0000283
    O próximo termo ( n=4) vale aproximadamente 3,06times10^-7<5times10^-5, então paramos aqui. A soma parcial é
S3 = 1 - 0.0555556 + 0.0016667 - 0.0000283 approx 0.9460828

Passo 4

Para arredondar S3 a 4 casas decimais, olhamos o quinto dígito (8), que faz o quarto dígito subir de 0 para 1. Assim obtemos a aproximação final.

Resposta

0.9461

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