Usando uma série de potências adequada, aproxime cada integral dada abaixo com 4 casas decimais:
Passo 1
A gente quer aproximar a integral
usando uma série de potências. O conteúdo principal é a série de Maclaurin para
e a integração termo a termo dessa série.
Passo 2
A série de Maclaurin para
é dado por:
Para obter a série de
Agora integramos termo a termo no intervalo
. Como a série converge uniformemente em
, podemos trocar soma e integral. Temos
Passo 3
A soma acima é uma série alternada com termos
que decrescem em magnitude. Pelo critério de Leibniz, o erro ao truncar após
termos é menor que
. Para 4 casas decimais precisamos que o próximo termo seja menor que
.
Vamos calcular os primeiros termos e a soma parcial até que o termo seguinte fique abaixo de :
Vamos calcular os primeiros termos e a soma parcial até que o termo seguinte fique abaixo de
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-
-
O próximo termo () vale aproximadamente , então paramos aqui. A soma parcial é
Passo 4
Para arredondar
a 4 casas decimais, olhamos o quinto dígito (8), que faz o quarto dígito subir de 0 para 1. Assim obtemos a aproximação final.
Resposta
0.9461