Mostre que
integral e^x cos (x) d x=12 e^x(sen(x)+cos (x))+C

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral e^xcos(x),dx. O conteúdo aqui é técnica de integração por partes, usando a fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du. Vamos aplicar isso duas vezes.

Passo 2

Escolhemos u=cos(x) e dv=e^x,dx. Então du=-sin(x),dx e v=e^x. Aplicando a fórmula:
integral e^xcos(x),dx = e^xcos(x) - integral e^x(-sin(x)),dx = e^xcos(x) + integral e^xsin(x),dx

Passo 3

Para calcular integral e^xsin(x),dx, fazemos outra integração por partes. Tomamos u=sin(x) e dv=e^x,dx, logo du=cos(x),dx e v=e^x. Assim:
integral e^xsin(x),dx = e^xsin(x) - integral e^xcos(x),dx

Passo 4

Denotando I= integral e^xcos(x),dx, juntamos os resultados:
I = e^xcos(x) + l(e^xsin(x) - Ir) = e^xl(cos(x)+sin(x)r) - I
Somando I dos dois lados dá 2I = e^x(cos(x)+sin(x)). Logo:
I = 12e^xl(sin(x)+cos(x)r) + C

Resposta

12e^x(sen(x)+cos(x))+C

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