As funções de transferência abaixo caracterizam SLITs de tempo discreto. Classifique-os em relação à estabilidade. Justifique a classificação e esboce os diagramas de pólos e zeros correspondentes.
H(z)=1z^2-z-6

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar se o sistema representado pela função de transferência $ H(z) = \frac{1}{z^{2} - z - 6} $ é estável. Estamos lidando com sistemas de tempo discreto e vamos precisar entender sobre a estabilidade desses sistemas e como os pólos e zeros influenciam nisso. Para resolver, vamos encontrar os pólos da função, verificar onde eles estão localizados no plano $ z $ e, com isso, determinar a estabilidade do sistema. Também vamos esboçar os diagramas de pólos e zeros.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, para determinar a estabilidade de um sistema de tempo discreto, precisamos olhar para os pólos da função de transferência. Um sistema é estável se todos os pólos estiverem dentro do círculo unitário no plano $ z z ó |z| < 1 $).

Passo 3

Vamos encontrar os pólos da função de transferência $ H(z) $. Os pólos são os valores de $ z $ que fazem o denominador da função ser zero:
H(z)

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação quadrática para encontrar os pólos:
z = 1 pm raiz1 + 242 = 1 pm raiz252 = 1 pm 52
Isso nos dá duas soluções:
z1 = 1 + 52 = 3 e z2 = 1 - 52 = -2
Portanto, os pólos são $ z = 3 $ e $ z = -2 $.

Passo 5

Agora, vamos verificar a magnitude de cada pólo para determinar a estabilidade:
|z1| = |3| = 3 > 1
|z2| = |-2| = 2 > 1
Como ambos os pólos têm magnitude maior que 1, eles estão fora do círculo unitário.

Resposta

O sistema representado por $ H(z) = \frac{1}{z^{2} - z - 6} $ é instável, pois ambos os pólos ($ z = 3 $ e $ z = -2 $) estão fora do círculo unitário no plano $ z $. O diagrama de pólos e zeros mostraria os pólos localizados nos pontos $ z = 3 $ e $ z = -2 $, sem zeros no numerador.

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