As funções de transferência abaixo caracterizam SLITs de tempo discreto. Classifique-os em relação à estabilidade. Justifique a classificação e esboce os diagramas de pólos e zeros correspondentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar se o sistema representado pela função de transferência $ H(z) = \frac{1}{z^{2} - z - 6} $ é estável. Estamos lidando com sistemas de tempo discreto e vamos precisar entender sobre a estabilidade desses sistemas e como os pólos e zeros influenciam nisso. Para resolver, vamos encontrar os pólos da função, verificar onde eles estão localizados no plano $ z $ e, com isso, determinar a estabilidade do sistema. Também vamos esboçar os diagramas de pólos e zeros.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, para determinar a estabilidade de um sistema de tempo discreto, precisamos olhar para os pólos da função de transferência. Um sistema é estável se todos os pólos estiverem dentro do círculo unitário no plano $ z
|z| < 1 $).
Passo 3
Vamos encontrar os pólos da função de transferência $ H(z) $. Os pólos são os valores de $ z $ que fazem o denominador da função ser zero:
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação quadrática para encontrar os pólos:
Isso nos dá duas soluções:
Portanto, os pólos são $ z = 3 $ e $ z = -2 $.
Passo 5
Agora, vamos verificar a magnitude de cada pólo para determinar a estabilidade:
Como ambos os pólos têm magnitude maior que 1, eles estão fora do círculo unitário.
Resposta
O sistema representado por $ H(z) = \frac{1}{z^{2} - z - 6} $ é instável, pois ambos os pólos ($ z = 3 $ e $ z = -2 $) estão fora do círculo unitário no plano $ z $. O diagrama de pólos e zeros mostraria os pólos localizados nos pontos $ z = 3 $ e $ z = -2 $, sem zeros no numerador.