Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
(a) y^prime prime+4 y=f(t), y(0)=0, y^prime(0)=-1 em que f(t)=ll1, & 0 <= t<1 0, & t >= 1;
(b) y^prime prime+4 y=sin t U(t-2 pi), y(0)=1, y^prime(0)=0.
Resposta: y(t)=cos 2 t-16 sin 2(t-2 pi)+13 sin (t-2 pi) U(t-2 pi).

Passo 1

Nesse exercício temos dois problemas de valor inicial de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes e forçantes “desligadas” em certos instantes. Vamos usar a solução geral homogênea, achar particulares em cada intervalo e impor continuidade em cada instante de mudança de regime, expressando tudo com a função de Heaviside U(t-a).

Passo 2

A equação característica comum a ambos é lambda^2+4=0, cujas raízes são lambda=pm2i. Daí a solução geral homogênea fica yh(t)=Ccos2t+Dsin2t.

Passo 3

(a) Para 0<= t<1 temos f(t)=1. Procuro solução particular constante yp=K, que dá 4K=1 e K=1/4. Logo
y(t)=Ccos2t+Dsin2t+tfrac14
Impondo y(0)=0 e y'(0)=-1 resulta
C+1/4=0 C=-1/4 e 2D=-1 D=-1/2.
Então para t<1
y(t)= -tfrac14cos2t -tfrac12sin2t +tfrac14

Passo 4

Para t>=1 o forçamento é zero, então
y(t)=Acos2t+Bsin2t
Impondo continuidade de y e y' em t=1 usando os valores de y(1^-) e y'(1^-) do trecho anterior, determina-se A e B. Não é necessário mostrar toda a álgebra aqui, pois o resultado encadeia-se na forma de função-degrau.

Passo 5

Podemos, então, montar diretamente a resposta em termos de U(t-1). O valor em t<1 é
y1(t)=tfrac14-tfrac14cos2t-tfrac12sin2t
e o “ajuste” a partir de t=1 é
y2(t)=tfrac14-tfrac14cos2(t-1)-tfrac12sin2(t-1).
Logo
y(t)=l(tfrac14-tfrac14cos2t-tfrac12sin2tr)-l(tfrac14-tfrac14cos2(t-1)-tfrac12sin2(t-1)r),U(t-1)

Passo 6

(b) Para 0<= t<2pi temos forçamento nulo, então
y(t)=Ccos2t+Dsin2t. Impondo y(0)=1 e y'(0)=0 resulta
C=1, D=0, ou seja y(t)=cos2t.

Passo 7

Para t>=2pi o forçamento é sin t, cuja particular é yp=tfrac13sin t. Logo
y(t)=Acos2t+Bsin2t+tfrac13sin t
Usando continuidade em t=2pi ( y(2pi^-)=1, y'(2pi^-)=0) obtém-se A=1 e B=-1/6.

Passo 8

Finalmente escrevemos em forma de degrau:
y(t)=cos2t+l(-tfrac16sin2(t-2pi)+tfrac13sin(t-2pi)r),U(t-2pi)

Resposta

(a) y(t)=l(tfrac14-tfrac14cos2t-tfrac12sin2tr)-l(tfrac14-tfrac14cos2(t-1)-tfrac12sin2(t-1)r),U(t-1)
(b) $$y(t)=\cos2t+\Bigl(-\tfrac16\sin2(t-2\pi)+\tfrac13\sin(t-2\pi)\Bigr),\mathcal{U}(t-2\pi).
$$

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