Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
(a)
em que
;
(b)
.
Resposta:
.
(a)
(b)
Resposta:
Passo 1
Nesse exercício temos dois problemas de valor inicial de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes e forçantes “desligadas” em certos instantes. Vamos usar a solução geral homogênea, achar particulares em cada intervalo e impor continuidade em cada instante de mudança de regime, expressando tudo com a função de Heaviside
.
Passo 2
A equação característica comum a ambos é
, cujas raízes são
. Daí a solução geral homogênea fica
.
Passo 3
(a) Para
temos
. Procuro solução particular constante
, que dá
e
. Logo
Impondo
e
resulta
→
e
→
.
Então para
Então para
Passo 4
Para
o forçamento é zero, então
Impondo continuidade de
e
em
usando os valores de
e
do trecho anterior, determina-se
e
. Não é necessário mostrar toda a álgebra aqui, pois o resultado encadeia-se na forma de função-degrau.
Passo 5
Podemos, então, montar diretamente a resposta em termos de
. O valor em
é
e o “ajuste” a partir de é
.
Logo
e o “ajuste” a partir de
Logo
Passo 6
(b) Para
temos forçamento nulo, então
. Impondo
e
resulta
, ou seja
.
Passo 7
Para
o forçamento é
, cuja particular é
. Logo
Usando continuidade em
(
,
) obtém-se
e
.
Passo 8
Finalmente escrevemos em forma de degrau:
Resposta
(a)
(b) $$y(t)=\cos2t+\Bigl(-\tfrac16\sin2(t-2\pi)+\tfrac13\sin(t-2\pi)\Bigr),\mathcal{U}(t-2\pi).
$$