As funções de transferência abaixo caracterizam SLITs de tempo discreto. Classifique-os em relação à estabilidade. Justifique a classificação e esboce os diagramas de pólos e zeros correspondentes.
H(z)=z+3z^2+6 z+25

Passo 1

O enunciado pede para a gente classificar a estabilidade do sistema discreto cuja função de transferência é dada por
H(z)=z+3z^2+6z+25,
ou seja, avaliar se todos os polos estão dentro do círculo unitário no plano z e depois esboçar o diagrama de polos e zeros.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os polos resolvendo o polinômio do denominador:
z^2+6z+25=0
Usando a fórmula de Bhaskara, temos
z=-6pmraiz6^2-4cdot1cdot252 = -6pmraiz36-1002 = -3pm j4

Passo 3

Agora, calculamos a magnitude de cada polo:
|z|=raiz(-3)^2+4^2=raiz9+16=5
Como 5>1, ambos os polos estão fora do círculo unitário. Logo o sistema é instável.

Passo 4

Em seguida, identificamos o zero da função de transferência resolvendo o numerador:
z+3=0Rightarrow z=-3
A magnitude do zero é |-3|=3>1, então o zero também fica fora do círculo unitário.

Passo 5

Para completar, esboçamos o diagrama de polos e zeros no plano z:
  • Desenhe o círculo unitário centrado na origem.
  • Marque com × os polos em z=-3+4j e z=-3-4j.
  • Marque com o o zero em z=-3.
    Isso ilustra que os polos estão todos fora do círculo unitário, confirmando a instabilidade.

Resposta

O sistema é instável, pois seus polos (-3pm j4) estão localizados fora do círculo unitário no plano z.

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