Seja F(s)=Lf(t). Determine a transformada inversa de Laplace da função:
(a) F(s)=e^-pi ss^2+1;
(b) F(s)=e^-2 ss^2(s-1);
© F(s)=ln (s-3s+1). (essa é bem fácil!)

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar, em cada item, a transformada inversa de Laplace de uma função F(s). Vamos usar: (i) transformadas conhecidas como Lsin t=1/(s^2+1) e propriedades de deslocamento no tempo, (ii) frações parciais para termos racionais em s, e (iii) uma representação integral para o logaritmo que nos dá (e^-t-e^3t)/t.

Passo 2

Para o item (a), note que 1/(s^2+1) tem transformada inversa sin t. Aplicando o teorema do segundo deslocamento no tempo (ou teorema do “shift”):
Se Lf(t)=F(s), então
L^-1e^-a sF(s)=u(t-a),f(t-a)
Aqui a=pi e f(t)=sin t, logo
f(t)=L^-1le^-pi ss^2+1r=u(t-pi),sinl(t-pir)

Passo 3

No item (b) temos F(s)=e^-2s/[s^2(s-1)]. Primeiro achamos a transformada inversa sem o fator e^-2s. Fazendo frações parciais:
1s^2(s-1)=As+Bs^2+Cs-1
Multiplicando por s^2(s-1) e igualando coeficientes, obtemos
1=(A+C)s^2+(-A+B)s- B
o que dá A=-1, B=-1, C=1. Logo
1s^2(s-1)=-1s-1s^2+1s-1
Invertendo cada termo:
L^-1l-1sr=-1, L^-1l-1s^2r=-t, L^-1l1s-1r=e^t
Então, sem deslocamento, f(t)=-1 - t + e^t. Aplicando o deslocamento e^-2s:
f(t)=u(t-2)l[-1-(t-2)+e^t-2r]
que pode ser reescrito como u(t-2)[e^t-2-t+1].

Passo 4

Para o item ©, usamos a representação integral do logaritmo:
lns-3s+1=integral0^inftye^-(s+1)t-e^-(s-3)tt,dt
Isso identifica diretamente a transformada inversa como
f(t)=e^-t-e^3tt,
válida para t>0.

Resposta

(a) f(t)=u(t-pi),sin(t-pi)
(b) f(t)=u(t-2)l[e^t-2-t+1r]
© f(t)=dfrace^-t-e^3tt

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