Use o Teorema da Convolução para calcular o valor das transformadas de Laplace dadas.
(a) Lt^2 * t e^t;
(b) Le^-t * e^t cos t. Resposta: s-1(s+1)[(s-1)^2+1];
© Lintegral0^t e^tau d tau;
(d) Lintegral0^t e^-tau cos tau d tau. Resposta: s+1s[(s+1)^2+1].

Passo 1

O enunciado pede para calcular quatro transformadas de Laplace usando o Teorema da Convolução e a propriedade de transformada de uma integral. Vamos precisar do Teorema da Convolução, que afirma que para duas funções f(t) e g(t), Lf*g(s)=F(s),G(s), e também da propriedade Lintegral0^tf(tau)dtau=F(s)/s.

Passo 2

Para o item (a), considere f(t)=t^{2} e g(t)=t e^{t}. Calculamos primeiro as transformadas individuais: Lt^2=2/s^3 e Lt e^t=1/(s-1)^2. Aplicando o Teorema da Convolução, obtemos
Lt^2*t e^t=2s^3cdot1(s-1)^2=2s^3(s-1)^2

Passo 3

No item (b), tomamos f(t)=e^{-t} e g(t)=e^{t}\cos t. Suas transformadas são Le^-t=1/(s+1) e Le^tcos t=(s-1)/l[(s-1)^2+1r]. Pela convolução,
Le^-t*e^tcos t=1s+1cdots-1(s-1)^2+1=s-1(s+1)l[(s-1)^2+1r], que coincide com o resultado fornecido.

Passo 4

No item ©, temos a função h(t)=integral0^te^taudtau. Usamos a propriedade da transformada de integral: se F(s)=Le^t=1/(s-1), então
Llintegral0^te^taudtaur=1scdot1s-1=1s(s-1)

Passo 5

No item (d), seja k(t)= integral0^te^-taucostau,dtau. A transformada de e^-tcos t é (s+1)/[(s+1)^2+1]. Logo,
Llintegral0^te^-taucostau,dtaur=1scdots+1(s+1)^2+1=s+1sl[(s+1)^2+1r], batendo com o resultado indicado.

Resposta

(a) 2s^3(s-1)^2; (b) s-1(s+1)[(s-1)^2+1]; © 1s(s-1); (d) s+1s[(s+1)^2+1].

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