Use o Teorema da Convolução para calcular o valor das transformadas de Laplace dadas.
(a)
;
(b)
. Resposta:
;
©
;
(d)
. Resposta:
.
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
O enunciado pede para calcular quatro transformadas de Laplace usando o Teorema da Convolução e a propriedade de transformada de uma integral. Vamos precisar do Teorema da Convolução, que afirma que para duas funções f(t) e g(t),
, e também da propriedade
.
Passo 2
Para o item (a), considere f(t)=t^{2} e g(t)=t e^{t}. Calculamos primeiro as transformadas individuais:
e
. Aplicando o Teorema da Convolução, obtemos
Passo 3
No item (b), tomamos f(t)=e^{-t} e g(t)=e^{t}\cos t. Suas transformadas são
e
. Pela convolução,
Passo 4
No item ©, temos a função
. Usamos a propriedade da transformada de integral: se
, então
Passo 5
No item (d), seja k(t)=
. A transformada de
é
. Logo,
Resposta
(a)
; (b)
; ©
; (d)
.