Resolva o Problema de Valor Inicial:
y^prime prime-2 y^prime-3 y=0 ; y(0)=2 ; y^prime(0)=14

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' - 2y' - 3y = 0, y(0)=2, y'(0)=14
O conteúdo aqui é a resolução de uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver vamos: (1) montar a equação característica, (2) achar suas raízes, (3) escrever a solução geral, (4) aplicar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Formamos a equação característica trocando y por e^rx:
r^2 - 2r - 3 = 0
Agora resolvemos essa equação algébrica para encontrar os valores de r.

Passo 3

Resolvendo
r^2 - 2r - 3 = 0
usando fórmula de Bhaskara ou fatoração, obtemos as raízes
r = 3 e r = -1

Passo 4

Como as raízes são distintas, a solução geral da equação diferencial é
y(x) = C1 e^3x + C2 e^-x
Em seguida, calculamos a derivada necessária para as condições iniciais:
y'(x) = 3C1 e^3x - C2 e^-x

Passo 5

Aplicamos a condição y(0)=2. Como e^0=1, temos
y(0) = C1 + C2 = 2

Passo 6

Aplicamos a condição
Agora resolvemos o sistema
Somando as duas equações elimina

Passo 7

Com C1=4 e C2=-2, a solução particular que atende às condições iniciais é
y(x) = 4e^3x - 2e^-x

Resposta

y(x) = 4e^3x - 2e^-x

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