As funções de várias variáveis podem representar fenômenos físicos, como o movimento de partículas em um espaço tridimensional, a distribuição de temperatura em um objeto ou a variação da pressão em um fluido. Dessa forma, determine a derivada direcional f ( x , y , z ) = x y + y 2 z no ponto P = ( 7 , − 2 , 1 ) na direção do vetor v = ( 2 , 2 , 1 )
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função $ f(x, y, z) = xy + y^2z $ no ponto $ P = (7, -2, 1) $ na direção do vetor $ \mathbf{v} = (2, 2, 1) $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial de funções de várias variáveis, como derivadas parciais, gradiente e produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função $ f $. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de $ f $ em relação às suas variáveis. Ou seja,
Vamos encontrar cada derivada parcial:
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Derivada parcial em relação a $ x $:
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Derivada parcial em relação a $ y $:
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Derivada parcial em relação a $ z $:
Então, o gradiente fica:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto $ P = (7, -2, 1) $. Substituindo $ x = 7 $, $ y = -2 $ e $ z = 1 $ na expressão do gradiente:
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Componente $ x $:
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Componente $ y $:
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Componente $ z $:
Portanto, o gradiente no ponto $ P $ é:
Passo 4
O próximo passo é determinar a unidade na direção do vetor $ \mathbf{v} = (2, 2, 1) $. Isso porque a derivada direcional utiliza um vetor unitário para indicar a direção.
Primeiro, calculamos o módulo do vetor $ \mathbf{v} $:
Então, o vetor unitário $ \mathbf{u} $ na direção de $ \mathbf{v} $ é:
Passo 5
Finalmente, vamos calcular a derivada direcional usando o gradiente no ponto $ P $ e o vetor unitário $ \mathbf{u} $. A fórmula para a derivada direcional $ D_{\mathbf{u}}f $ é:
Onde $ \cdot $ representa o produto escalar entre os dois vetores. Vamos fazer isso:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Resposta
A derivada direcional de $ f $ no ponto $ P = (7, -2, 1) $ na direção do vetor $ \mathbf{v} = (2, 2, 1) $ é 2.