Uma indústria produz, por dia, x unidades de determinado produto, e pode vender tudo o que produzir a um preço de R$100,00 a unidade. Se x unidades são produzidas a cada dia, o custo total, em reais, da produção diária é a x²+20x700. Portanto, para que a indústria tenha lucro diário de R$900,00, qual deve ser o número de unidades produzidas e vendidas por dia?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Uma fábrica produz e vende diariamente uma certa quantidade de um produto. Cada unidade é vendida por R$100,00. O custo total para produzir x unidades é dado pela equação $ C(x) = x^2 + 20x + 700 $. Queremos descobrir quantas unidades precisam ser produzidas e vendidas por dia para que a empresa obtenha um lucro diário de R$900,00. Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções de receita, custo e lucro.

Passo 2

Vamos começar calculando a receita total. A receita é o dinheiro que a empresa ganha vendendo seus produtos. Se cada unidade é vendida por R$100,00 e são vendidas x unidades, a receita $ R(x) $ é:
100,00 e são vendidas x unidades, a receita

Passo 3

Agora, vamos considerar o custo total de produção, que já foi dado pela equação:
C(x) = x^2 + 20x + 700
Isso inclui todos os gastos para produzir x unidades por dia.

Passo 4

O lucro é o que sobra da receita após subtrair o custo. Assim, a função lucro $ L(x) $ é:
L(x)
Vamos simplificar essa equação:
L(x) = R(x) - C(x) = 100x - (x^2 + 20x + 700)

Passo 5

Queremos que o lucro seja de R$900,00 por dia. Então, vamos igualar a função lucro a 900 e resolver a equação:
900,00 por dia Então, vamos igualar a função lucro a 900 e resolver a equação:
-x^2 + 80x - 700 = 900
Para facilitar, multiplicamos todos os termos por -1:

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação quadrática $ x^2 - 80x + 1600 = 0 $. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
x^2 - 80x + 1600 = 0
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -80 $ e $ c = 1600 $.
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Como $ \Delta = 0 $, há uma única solução real:
a = 1

Resposta

A empresa deve produzir e vender 40 unidades por dia para obter um lucro diário de R$900,00.

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