As funções y=2 x+4, y=3 x-p e y=m x+2, cujas variáveis são x e y, e m e p são parâmetros reais, representam, respectivamente, retas r, s e t do plano cartesiano. Determine:
m e p para que as retas s e t sejam paralelas coincidentes;

Passo 1

O enunciado dá três funções (retas) em x e y, com parâmetros reais m e p:
\text{reta } r: y=2x+4, \qquad \text{reta } s: y=3x-p, \qquad \text{reta } t: y=mx+2.
O que se pede: determinar os valores de m e p para que as retas s e t sejam paralelas coincidentes (ou seja, representem exatamente a mesma reta no plano).

Passo 2

Entender as características de uma reta na forma y=ax+b. Aqui:
  • a é o coeficiente angular (inclinação, ou “inclinação da reta”);
  • b é o coeficiente linear (intercepto com o eixo y, ou valor de y quando x=0).
Vou explicar com calma:
  • Se duas retas têm formas y=a_1x+b_1 e y=a_2x+b_2, elas são paralelas quando a_1=a_2 (mesma inclinação).
  • Elas são coincidentes (a mesma reta) quando, além de a_1=a_2, também b_1=b_2 (ou seja, têm o mesmo intercepto).

Passo 3

Aplicando isso às retas s e t. Identifico os coeficientes:
  • Para s: coeficiente angular a_s=3 e coeficiente linear b_s=-p (porque y=3x-p dá intercepto y(0)=-p).
  • Para t: coeficiente angular a_t=m e coeficiente linear b_t=2.
Para serem paralelas coincidentes precisamos das duas condições:
a_s = a_t \qquad\text{e}\qquad b_s = b_t.

Passo 4

Igualando os coeficientes angulares (inclinações):
3 = m.
Portanto obtemos imediatamente
m = 3.

Passo 5

Igualando os coeficientes lineares (interceptos):
- p = 2.
Resolvendo para p:
p = -2.

Passo 6

Checagem rápida (sempre bom fazer na prova): com m=3 e p=-2 as duas retas ficam
s:\\ y=3x-(-2)=3x+2\quad\text{(atenção: revisar sinal)},çã
mas cuidado: a reta s original é y=3x-p. Substituindo p=-2
y=3x-(-2)=3x+2.
A reta t com m=3 é
t:\\ y=3x+2.
Como são exatamente a mesma expressão, as retas são coincidentes — confirmado.

Resposta

m=3
p=-2

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