(Fuvest-SP) No sistema linear \left\{\begin{aligned} a x-y & =1 \\\ y+z & =1, \text { nas va- } \\\ x+z & =m\end{aligned}\right. riáveis x, y e z, a e m são constantes reais. É correto afirmar:
a. No caso em que a=1, o sistema tem solução se, e somente se, m=2.
b. O sistema tem solução, quaisquer que sejam os valores de a e de m.
c. No caso em que m=2, o sistema tem solução se, e somente se, a=1.
d. O sistema só tem solução se a=m=1.
e. O sistema não tem solução, quaisquer que sejam os valores de a e de m.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que se pede, sem resolver ainda.
O sistema é formado por três equações e três incógnitas x\), \(y\), \(z\):
\[\begin{cases} a x - y = 1,\\[4pt] y + z = 1,\\[4pt] x + z = m, \end{cases}
onde a\] e \(m são constantes reais dadas.
O enunciado apresenta cinco alternativas (a)–(e) e pede qual é a correta. Em particular há afirmações condicionais sobre existência de solução dependendo de a e m.
Queremos determinar para que valores de a e m o sistema é compatível (tem solução) e então verificar qual alternativa corresponde a essa análise.]
Passo 2
Estratégia inicial de resolução (substituição direta). Vou expressar uma incógnita em função das outras e eliminar variáveis passo a passo — método simples e direto, fácil de fazer na prova sem matriz.
Da primeira equação temos:
y = a x - 1.
Da segunda equação temos:
z = 1 - y.
Agora vou substituir y em z e depois usar a terceira equação para obter uma equação só em x.
Substituindo y = a x - 1 em z:
z = 1 - (a x - 1) = 2 - a x.
Passo 3
Agora uso a terceira equação x+z=m. Substituo z=2 - a x nela:
x + (2 - a x) = m.
Agrupando termos em x:
x - a x + 2 = m.
Fatorando x:
(1 - a)\,x + 2 = m.
Isolando o termo em x:
(1 - a)\,x = m - 2.
Essa última igualdade é fundamental: ela mostra que a existência e unicidade de x dependem de 1-a. Vou analisar os dois casos possíveis: a\neq 1 e a=1.
Passo 4
Caso a \neq 1.
Se 1-a\neq 0, posso dividir por 1-a e obter
x = \frac{m-2}{1-a}.
Como x é então determinado de forma única, as outras variáveis também ficam determinadas por substituição:
y = a x - 1 = a\cdot\frac{m-2}{1-a} - 1,
z = 2 - a x = 2 - a\cdot\frac{m-2}{1-a}.
Conclusão deste caso: quando a\neq 1, para qualquer valor de m existe uma solução única (x,y,z) dada pelas fórmulas acima. Em particular, não há nenhuma restrição sobre m neste caso.
Observação didática rápida: aqui ocorreu o caso “sistema compatível determinado” — coeficiente de x não nulo leva a solução única.
Passo 5
Caso a = 1.
Se a=1, a equação obtida em Passo 3 fica
(1-1)\,x = m-2 \quad\Longrightarrow\quad 0 = m-2.
Isso significa que:
Se m\neq 2, a igualdade é 0 = \text{número não nulo}úã, impossível. Logo, para a=1 e m\neq 2 não existe solução (sistema é incompatível).
Se m=2, a igualdade se reduz a 0=0, que é satisfeita para qualquer x. Ou seja, x fica livre (parâmetro). Vamos obter a solução geral nesse subcaso.
Tomando a=1 e m=2:
Da primeira equação y = a x -1 = x -1.
Da segunda z = 1 - y = 1 - (x-1) = 2 - x.
A terceira equação x+z=2 fica x + (2-x) = 2, identidade verdadeira. Portanto existe infinidade de soluções, parametrizadas por x\in\mathbb{R}: a família
Conclusão deste caso: para a=1 o sistema é compatível se, e somente se, m=2; nesse caso tem infinitas soluções.
Passo 6
Resumo das conclusões (sem ainda apontar a alternativa correta diretamente — vou comparar com as alternativas):
Se a\neq 1 então o sistema tem sempre solução (única) para todo m\in\mathbb{R}.
Se a=1 então o sistema tem solução somente quando m=2; se m=2 há infinitas soluções, se m\neq2 não há solução.
Agora confronto essas conclusões com as alternativas:
Alternativa (a): “No caso em que a=1, o sistema tem solução se, e somente se, m=2.” — isto coincide exatamente com a conclusão do Passo 5.
Alternativa (b): “O sistema tem solução, quaisquer que sejam os valores de a e de m.” — falsa, porque se a=1 e m\neq2 não há solução.
Alternativa (c): “No caso em que m=2, o sistema tem solução se, e somente se, a=1.” — falsa, porque para m=2 existe solução também quando a\neq1 (veja Passo 4: se a\neq1 e m=2 obtemos x=0 e solução única).
Alternativa (d): “O sistema só tem solução se a=m=1.” — falsa, numerosos contraexemplos (por exemplo a=2,m=0 dá solução).
Alternativa (e): “O sistema não tem solução, quaisquer que sejam os valores de a e de m.” — claramente falsa.
Portanto a alternativa que corresponde exatamente ao comportamento do sistema é a alternativa (a).