Para as funções y1(x)=e^2 x, y2(x)=x e^2 x e y3(x)=x^2 e^2 x, calcule o Wronskiano W(y1, y2, y3)(x).

Passo 1

O enunciado pede o Wronskiano das funções
y1(x)=e^2x, y2(x)=x,e^2x, y3(x)=x^2e^2x
Conteúdo: definimos o Wronskiano de três funções como o determinante da matriz cujas linhas são as funções e suas primeiras e segundas derivadas. Vamos calcular yi', yi'', montar a matriz e avaliar o determinante.

Passo 2

Calculemos as derivadas de cada função:
y1'(x)=2e^2x, y1''(x)=4e^2x,
y2'(x)=l(x,e^2xr)'=e^2x+2x,e^2x=e^2x(1+2x), y2''(x)=l(e^2x(1+2x)r)'=4(1+x)e^2x,
y3'(x)=l(x^2e^2xr)'=2x(1+x)e^2x, y3''(x)=l(2x(1+x)e^2xr)'=2(1+4x+2x^2)e^2x

Passo 3

O Wronskiano é
W(y1,y2,y3)(x) =det y1&y2&y3 y1'&y2'&y3' y1''&y2''&y3'' =det e^2x&x,e^2x&x^2e^2x 2e^2x&e^2x(1+2x)&2x(1+x)e^2x 4e^2x&4(1+x)e^2x&2(1+4x+2x^2)e^2x
Fatoramos e^2x de cada coluna, gerando um fator global e^6x. Resta o determinante da matriz
M= 1 & x & x^2 2 & 1+2x & 2x+2x^2 4 & 4+4x & 2+8x+4x^2

Passo 4

Calculamos det M por expansão na primeira linha. Definimos:
A=det1+2x & 2x+2x^24+4x &2+8x+4x^2 =2+4x+4x^2,
B=det2 & 2x+2x^24 &2+8x+4x^2 =4+8x, C=det2 & 1+2x4 &4+4x=4
Logo
det M =1cdot A - xcdot B + x^2cdot C = (2+4x+4x^2) - x(4+8x)+x^2cdot4 =2

Passo 5

Portanto
W(y1,y2,y3)(x) =e^6xcdot 2 =2,e^6x

Resposta

W(y1,y2,y3)(x)=2,e^6x

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