Considere y1(x)=sin x, y2(x)=cos x e y3(x)=sin 2 x.
Determine o
Wronskiano dessas três funções e discuta a independência linear.

Passo 1

O enunciado pede o Wronskiano das funções
;y1(x)=sin x,;y2(x)=cos x,;y3(x)=sin 2x,
e, com base nele, discutir a independência linear.
O conteúdo que iremos usar é a definição do Wronskiano para três funções, que é o determinante da matriz formada por elas e suas derivadas até segunda ordem. Se o Wronskiano não for identicamente zero, as funções são linearmente independentes.

Passo 2

Calculamos as derivadas até segunda ordem:
y1=sin x, y1'=cos x, y1''=-sin x,
y2=cos x, y2'=-sin x, y2''=-cos x,
y3=sin 2x, y3'=2cos2x, y3''=-4sin2x

Passo 3

Escrevemos o Wronskiano como
W(x)= sin x & cos x & sin2x cos x & -sin x & 2cos2x -sin x & -cos x & -4sin2x

Passo 4

Calculando o determinante por expansão, agrupa-se em dois blocos que somam
4sin2x-sin2x=3sin2x
Logo,
W(x)=3sin2x

Passo 5

O Wronskiano não é identicamente zero (apenas se anula nos pontos ,x=kpi/2, kinZ), portanto as funções são linearmente independentes em qualquer intervalo onde W(x)neq0. Como W(x) não é zero para todo x, concluímos que sin x, cos x e sin2x são linearmente independentes em R.

Resposta

W(x)=3sin2x,
e as três funções são linearmente independentes.

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