Determine o
Wronskiano dessas três funções e discuta a independência linear.
Passo 1
O enunciado pede o Wronskiano das funções ,
e, com base nele, discutir a independência linear.
O conteúdo que iremos usar é a definição do Wronskiano para três funções, que é o determinante da matriz formada por elas e suas derivadas até segunda ordem. Se o Wronskiano não for identicamente zero, as funções são linearmente independentes.
Passo 2
Calculamos as derivadas até segunda ordem:
Passo 3
Escrevemos o Wronskiano como
Passo 4
Calculando o determinante por expansão, agrupa-se em dois blocos que somam
4sin2x-sin2x=3sin2x
Logo,
W(x)=3sin2x
Passo 5
O Wronskiano não é identicamente zero (apenas se anula nos pontos ,x=kpi/2, kinZ), portanto as funções são linearmente independentes em qualquer intervalo onde W(x)neq0. Como W(x) não é zero para todo x, concluímos que sin x, cos x e sin2x são linearmente independentes em R.