Derive (Derivada implícita):
l 2 x^3+x^2 y-x y^3=2 e^y cos x=1+sen(x y)

Passo 1

O enunciado apresenta duas equações implícitas em x e y e pede para encontrarmos tfracdydx em cada caso. Vamos usar diferenciação implícita, aplicando regra do produto, regra da cadeia e as derivadas usuais de potências, exponencial e funções trigonométricas.

Passo 2

Para
2x^3+x^2y - x y^3=2
derivamos ambos os lados em relação a x:
ddx(2x^3) + ddx(x^2y) - ddx(x y^3) = ddx(2)
Isso dá
6x^2 + l(2xcdot y + x^2,y'r) - l(y^3 + xcdot3y^2y'r) = 0

Passo 3

Agrupando termos com y',
6x^2 +2xy +x^2y' -y^3 -3x y^2y'=0 ;Longrightarrow; x^2y' -3x y^2y' = y^3 -6x^2 -2xy
Logo
y';=;y^3 -6x^2 -2xy,x^2 -3x y^2,

Passo 4

Para
e^ycos x = 1 + sen(xy)
derivamos em relação a x. No lado esquerdo usamos regra do produto e cadeia:
ddx(e^ycos x) = e^yy'cos x ;+; e^y(-sin x)
No direito,
ddx(1) + ddxl(sen(xy)r) = 0 + cos(xy),ddx(xy) = cos(xy),(y + x,y')
Portanto
e^ycos x,y' - e^ysin x = cos(xy),(y + x,y')

Passo 5

Isolando y',
e^ycos x,y' - xcos(xy),y' = e^ysin x + ycos(xy) ;Longrightarrow; y'l(e^ycos x - xcos(xy)r) = e^ysin x + ycos(xy)
Assim
y' = e^ysin x + ycos(xy),e^ycos x - xcos(xy),

Resposta

Para 2x^3+x^2y - x y^3=2:
y' = y^3 -6x^2 -2xy,x^2 -3x y^2,
Para e^ycos x = 1 + sen(xy):
y' = e^ysin x + ycos(xy),e^ycos x - xcos(xy),

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