Para as funções
e
, determinar
para
usando a regra da cadeia.
Passo 1
Vamos resolver o exercício onde temos as funções $ z = x^{2} + y^{2} + xy $, com $ x = \sin t $ e $ y = e^{t} $. Nosso objetivo é determinar $ \frac{dz}{dt} $ para $ t = \frac{\pi}{2} $ usando a regra da cadeia. Para isso, vamos utilizar conceitos de derivação de funções compostas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que $ z $ é uma função de $ x $ e $ y $, que por sua vez são funções de $ t $. A regra da cadeia nos permite calcular a derivada de $ z $ em relação a $ t $ considerando essas dependências.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia, a derivada $ \frac{dz}{dt} $ é dada por:
Aqui, $ \frac{\partial z}{\partial x} $ e $ \frac{\partial z}{\partial y} $ são as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $, respectivamente, e $ \frac{dx}{dt} $ e $ \frac{dy}{dt} $ são as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ t $.
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais:
Agora, calculamos as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ t $:
Passo 5
Substituindo essas expressões na fórmula da regra da cadeia:
Passo 6
Agora, vamos substituir os valores de $ x $ e $ y $ em termos de $ t $:
Então,
Passo 7
Simplificando a expressão:
Passo 8
Agora, vamos calcular $ \frac{dz}{dt} $ para $ t = \frac{\pi}{2} $:
Primeiro, calculamos cada termo:
Substituindo na expressão: