Para as funções z=x^2+y^2+x y, x=sin t e y=e^t, determinar d zd t para t=pi2 usando a regra da cadeia.

Passo 1

Vamos resolver o exercício onde temos as funções $ z = x^{2} + y^{2} + xy $, com $ x = \sin t $ e $ y = e^{t} $. Nosso objetivo é determinar $ \frac{dz}{dt} $ para $ t = \frac{\pi}{2} $ usando a regra da cadeia. Para isso, vamos utilizar conceitos de derivação de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que $ z $ é uma função de $ x $ e $ y $, que por sua vez são funções de $ t $. A regra da cadeia nos permite calcular a derivada de $ z $ em relação a $ t $ considerando essas dependências.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia, a derivada $ \frac{dz}{dt} $ é dada por:
dzdt
Aqui, $ \frac{\partial z}{\partial x} $ e $ \frac{\partial z}{\partial y} $ são as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $, respectivamente, e $ \frac{dx}{dt} $ e $ \frac{dy}{dt} $ são as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ t $.

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais:
partial zpartial x = 2x + y
partial zpartial y = 2y + x
Agora, calculamos as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ t $:
x
y

Passo 5

Substituindo essas expressões na fórmula da regra da cadeia:
dzdt = (2x + y) cdot cos t + (2y + x) cdot e^t

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores de $ x $ e $ y $ em termos de $ t $:
x
y
Então,
t

Passo 7

Simplificando a expressão:
dzdt = 2sin t cos t + e^t cos t + 2e^2t + sin t cdot e^t

Passo 8

Agora, vamos calcular $ \frac{dz}{dt} $ para $ t = \frac{\pi}{2} $:
Primeiro, calculamos cada termo:
dzdt
t = pi2
sin(pi2) = 1
Substituindo na expressão:
cos(pi2) = 0

Resposta

dzdtg|t=pi2 = 2e^pi + e^pi2

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