Para as funções z=x^2-y^3, x=u-3 v e y=u+2 v, determinar as derivadas parciais partial zpartial u e partial zpartial v, usando a regra da cadeia.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ u $ e $ v $, usando a regra da cadeia. A gente tem as funções:
z
Então, vamos precisar entender como $ z $ depende de $ u $ e $ v $ através de $ x $ e $ y $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da regra da cadeia para funções de várias variáveis. Se $ z $ depende de $ x $ e $ y $, que por sua vez dependem de $ u $ e $ v $, então a derivada parcial de $ z $ em relação a $ u $ é:
z
E de forma semelhante para $ v $.

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais separadamente. Primeiro, calculemos $ \frac{\partial z}{\partial x} $ e $ \frac{\partial z}{\partial y} $:
partial zpartial x
Agora, vamos encontrar $ \frac{\partial x}{\partial u} $, $ \frac{\partial x}{\partial v} $, $ \frac{\partial y}{\partial u} $ e $ \frac{\partial y}{\partial v} $:
partial zpartial y
partial zpartial x = 2x, partial zpartial y = -3y^2

Passo 4

Agora, usando a regra da cadeia, vamos montar as expressões para $ \frac{\partial z}{\partial u} $ e $ \frac{\partial z}{\partial v} $:
Para $ \frac{\partial z}{\partial u} $:
partial zpartial u
Para $ \frac{\partial z}{\partial v} $:
partial zpartial v

Passo 5

Por fim, substituímos $ x $ e $ y $ pelas suas expressões em termos de $ u $ e $ v $:
x
Então:
y
u

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial u = 2(u - 3v) - 3(u + 2v)^2
partial zpartial v = -6(u - 3v) - 6(u + 2v)^2

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