Para as funções
e
, determinar as derivadas parciais
, usando a regra da cadeia.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ u $ e $ v $, usando a regra da cadeia. A gente tem as funções:
Então, vamos precisar entender como $ z $ depende de $ u $ e $ v $ através de $ x $ e $ y $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da regra da cadeia para funções de várias variáveis. Se $ z $ depende de $ x $ e $ y $, que por sua vez dependem de $ u $ e $ v $, então a derivada parcial de $ z $ em relação a $ u $ é:
E de forma semelhante para $ v $.
Passo 3
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais separadamente. Primeiro, calculemos $ \frac{\partial z}{\partial x} $ e $ \frac{\partial z}{\partial y} $:
Agora, vamos encontrar $ \frac{\partial x}{\partial u} $, $ \frac{\partial x}{\partial v} $, $ \frac{\partial y}{\partial u} $ e $ \frac{\partial y}{\partial v} $:
Passo 4
Agora, usando a regra da cadeia, vamos montar as expressões para $ \frac{\partial z}{\partial u} $ e $ \frac{\partial z}{\partial v} $:
Para $ \frac{\partial z}{\partial u} $:
Para $ \frac{\partial z}{\partial v} $:
Passo 5
Por fim, substituímos $ x $ e $ y $ pelas suas expressões em termos de $ u $ e $ v $:
Então:
Resposta
As derivadas parciais são: