1- Responda as seguintes questões de forma clara (2,0) :
a) Qual é a diferença entre escoamento unidimensional e bidimensional? Cite um exemplo de cada.
b) O fenômeno El-Niño/La Ninã é monitorado com o uso de um conjunto de bóias fixas no Oceano Pacífico que medem continuamente, dentre outras coisas, velocidade da corrente e temperatura da água em diferentes profundidades. A descrição destas variáveis segue uma abordagem Lagrangeana ou Euleriana? Justifique sua resposta.
c) Para cada um dos casos abaixo, identifique se a aceleração local e se a aceleração advectiva é igual ou diferente de zero:
a. Escoamento em um conduto curvo de seção consante, com vazão constante;
b. Escoamento em um conduto reto de seção constante, com vazão constante;
c. Escoamento em um conduto longo de seção constante, com vazão constante;
d. Escoamento em conduto com seção variável com vazão crescente no tempo.
d) Seja \mathrm{V}=(\mathrm{u}, \mathrm{v}, \mathrm{w}) o campo de velocidade de um escoamento qualquer, onde \mathrm{u}=\mathrm{u}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}, \mathrm{t}), \mathrm{v}=\mathrm{v}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}, \mathrm{t}), \mathrm{w}=\mathrm{w}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}, \mathrm{t}), mostre:
a. As componentes em \mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{e} \mathrm{z} do campo de aceleração
b. As componentes em \mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{e} \mathrm{z} do campo de aceleração quando o escoamento é permanente.

Passo 1

O enunciado pede quatro itens distintos, vou listar claramente cada pergunta e as informações relevantes que tenho:
  1. (a) Pergunta: explicar a diferença entre escoamento unidimensional e bidimensional e citar um exemplo de cada. Informação: só preciso definir e dar exemplos claros.
  2. (b) Pergunta: determinar se a medição por bóias fixas no Pacífico (medindo velocidade e temperatura em diferentes profundidades ao longo do tempo) segue abordagem Lagrangeana ou Euleriana, com justificativa. Informação: bóias são fixas no espaço.
  3. (c) Pergunta: para quatro situações de escoamento, identificar se a aceleração local e se a aceleração advectiva são iguais a zero ou diferentes de zero. Informações de cada caso:
    • (a) conduto curvo de seção constante, vazão constante;
    • (b) conduto reto de seção constante, vazão constante;
    • (c) conduto longo de seção constante, vazão constante;
    • (d) conduto com seção variável com vazão crescente no tempo.
      “Vazão constante” indica que a vazão volumétrica não muda no tempo; “vazão crescente no tempo” indica dependência temporal.
  4. (d) Pergunta: dado o campo de velocidade \mathrm{V}=(\mathrm{u},\mathrm{v},\mathrm{w}) com \mathrm{u}=\mathrm{u}(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z},\mathrm{t}) etc., (i) mostrar as componentes em x,y,z do campo de aceleração (campo aceleração total/matérial), e (ii) mostrar as componentes quando o escoamento é permanente (isto é, independente do tempo).
Não devo resolver nada neste passo, apenas identifiquei o que é pedido e as informações úteis do enunciado.

Passo 2

Conceitos fundamentais que vou usar (explicação didática e passo-a-passo):
  1. Campo de velocidade: chamo \mathrm{V}(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z},\mathrm{t})=(\mathrm{u},\mathrm{v},\mathrm{w}). Cada componente \mathrm{u},\mathrm{v},\mathrm{w} é a velocidade instantânea do fluido nas direções x,y,z num ponto (x,y,z) e tempo t.
  2. Aceleração material (ou total) de uma partícula do fluido é a derivada temporal da velocidade vista seguindo a partícula. Em linguagem matemática, se você segue uma partícula que passa por uma trajetória \mathbf{x}(t), a aceleração é
\frac{d\mathrm{V}}{dt},
ou seja, a taxa de variação da velocidade ao longo da trajetória da partícula. Essa quantidade tem duas contribuições: mudança no tempo no mesmo ponto (variação local) e mudança por movimento para pontos com velocidade diferente (advecção).
  1. Definições operacionais:
    • Aceleração local (ou temporária) é a variação da velocidade num ponto fixo no espaço ao longo do tempo:
    \left(\frac{\partial \mathrm{V}}{\partial t}\right)_{x,y,z}.
    É nula se o campo de velocidade não depende de t (escoamento permanente).
    • Aceleração advectiva (ou convectiva) captura o efeito da variação espacial do campo quando a partícula se desloca:
    (\mathrm{V}\cdot\nabla)\mathrm{V}.
    É composta por termos do tipo \mathrm{u}\,\partial(\cdot)/\partial x, \mathrm{v}\,\partial(\cdot)/\partial y, etc.
  2. Resultado chave (fórmula do material derivative): a aceleração material é a soma das duas:
\frac{D\mathrm{V}}{Dt}=\frac{\partial \mathrm{V}}{\partial t}+(\mathrm{V}\cdot\nabla)\mathrm{V}.
Vou usar essa fórmula para derivar as componentes e para explicar os casos do item (c).

Passo 3

Explicando a diferença entre escoamento unidimensional e bidimensional (item a), de forma bem prática:
  1. Escoamento unidimensional: as variáveis de velocidade efetivamente variam numa única direção espacial; as outras direções não participam da dinâmica (ou são desprezíveis). Em termos de campo de velocidade, um escoamento unidimensional típico tem apenas uma componente não nula ou dependência espacial em apenas uma coordenada. Exemplo clássico e simples:
    • Escoamento unidimensional ao longo do eixo x:
    \mathrm{V}=(\mathrm{u}(x,t),0,0),
    onde \mathrm{u} só depende de x e possivelmente t. Exemplo físico: escoamento através de um tubo muito longo e estreito quando assumimos que a velocidade varia apenas ao longo do eixo do tubo (modelo 1D de escoamento em rios ou canais longos em aproximação simples).
  2. Escoamento bidimensional: há variação e possivelmente componentes de velocidade em duas direções espaciais (por exemplo x e y); a terceira direção é desprezada ou invariável. Em termos de campo:
    \mathrm{V}=(\mathrm{u}(x,y,t),\mathrm{v}(x,y,t),0).
    Aqui existem duas componentes significativas e dependência espacial em duas coordenadas. Exemplo físico: escoamento em um lago raso onde a variação vertical é desprezada e o escoamento é descrito no plano horizontal (x,y); ou escoamento ao redor de um obstáculo em um tanque bidimensional.
Dica prática para prova: pergunte-se se é necessário considerar duas direções para descrever o movimento do fluido. Se sim, é bidimensional; se só uma, unidimensional.

Passo 4

Resposta ao item (b) — bóias fixas medindo velocidade/temperatura: determinar Euleriano ou Lagrangeano.
  1. Definição breve:
    • Abordagem Euleriana: observador fixo no espaço mede campos (velocidade, temperatura, pressão) em pontos fixos ao longo do tempo. Ex.: medir a velocidade em uma posição da grade meteorológica continuamente.
    • Abordagem Lagrangeana: segue partículas/flutuadores e mede a evolução das propriedades seguindo essas partículas (ex.: drifters que acompanham a água).
  2. As bóias fixas estão ancoradas/posicionadas em pontos fixos do oceano; elas medem como a velocidade e temperatura mudam naquele local ao longo do tempo. Portanto isso é Euleriano.
  3. Justificativa direta e curta: as bóias não seguem uma partícula de água, elas permanecem em coordenadas espaciais fixas e registram a variação temporal no mesmo ponto; por isso a descrição é Euleriana.

Passo 5

Agora a parte (c): preciso identificar, para cada caso, se a aceleração local e a aceleração advectiva são zero ou não. Vou primeiro recordar as expressões, de forma elementar e física:
  1. Aceleração local (temporal) é \partial\mathrm{V}/\partial t. Se o escoamento é permanente (não depende de t) então \partial\mathrm{V}/\partial t=\mathbf{0}.
  2. Aceleração advectiva é (\mathrm{V}\cdot\nabla)\mathrm{V}. Mesmo em escoamento permanente, se a velocidade muda de ponto a ponto (por exemplo, muda direção ou módulo espacialmente), então (\mathrm{V}\cdot\nabla)\mathrm{V} pode ser diferente de zero.
Agora analiso cada caso separadamente, dando a razão física em cada um.
Caso (a): conduto curvo de seção constante, com vazão constante.
  • “Vazão constante” → presumimos escoamento estacionário no tempo (não dependente de t), então aceleração local é zero: \frac{\partial \mathrm{V}}{\partial t}=\mathbf{0}.
  • Porém, por causa da curvatura do conduto, uma partícula que percorre a curva muda constantemente a direção da velocidade (mesmo que o módulo axial seja constante). Isso implica que existem variações espaciais da direção da velocidade; essas variações provocam aceleração advectiva (ex.: componente centrípeta). Logo (\mathrm{V}\cdot\nabla)\mathrm{V}\neq\mathbf{0}.
  • Conclusão: aceleração local = zero; aceleração advectiva ≠ zero.
Caso (b): conduto reto de seção constante, com vazão constante.
  • Vazão constante → presumimos escoamento estacionário → aceleração local zero.
  • Em um conduto reto com seção constante e vazão constante, se assumimos escoamento plenamente desenvolvido ao longo do eixo (isto é, perfil de velocidade que não muda ao longo do comprimento do tubo), então as componentes da velocidade não variam na direção x do escoamento (nem em y,z ao longo do sentido do movimento), e as componentes transversais são nulas ( \mathrm{v}=\mathrm{w}=0 para um fluxo axial ideal). Nessa situação típica a aceleração advectiva também é zero: (\mathrm{V}\cdot\nabla)\mathrm{V}=\mathbf{0}.
  • Obs.: se houver entrada/saída ou desenvolvimento de perfil muito próximo à entrada, pode haver advectiva ≠ 0 localmente; mas o enunciado sugere o caso ideal “conduto reto com vazão constante” que normalmente implica fluxo estacionário e uniformemente axial. Portanto concluo: aceleração local = zero; aceleração advectiva = zero.
Caso (c): conduto longo de seção constante, com vazão constante.
  • “Longo” sugere que o escoamento está plenamente desenvolvido (mesma ideia do caso (b) mas reforçada pelo comprimento).
  • Vazão constante → aceleração local = zero.
  • Plenamente desenvolvido + seção constante → não há variação espacial ao longo do eixo do campo médio; portanto aceleração advectiva = zero.
  • Conclusão: aceleração local = zero; aceleração advectiva = zero.
Caso (d): conduto com seção variável com vazão crescente no tempo.
  • “Vazão crescente no tempo” implica dependência temporal do campo de velocidade → aceleração local é diferente de zero: \frac{\partial \mathrm{V}}{\partial t}\neq\mathbf{0}.
  • Além disso, seção variável implica que, em geral, as velocidades variam espacialmente (mudança de área provoca mudança de velocidade espacialmente), então haverá termos advectivos não nulos: (\mathrm{V}\cdot\nabla)\mathrm{V}\neq\mathbf{0}.
  • Conclusão: ambos diferentes de zero (local ≠ 0 e advectiva ≠ 0).

Passo 6

Agora resolvo a parte (d) formalmente — deduzo as componentes da aceleração a partir do campo \mathrm{V}=(\mathrm{u},\mathrm{v},\mathrm{w}), com cada componente função de (x,y,z,t).
  1. Material derivative em componentes: usando
\frac{D}{Dt}=\frac{\partial }{\partial t}+\mathrm{u}\frac{\partial }{\partial x}+\mathrm{v}\frac{\partial }{\partial y}+\mathrm{w}\frac{\partial }{\partial z},
aplicado a cada componente de velocidade.
  1. Componente x da aceleração (ou a_x):
a_x=\frac{D\mathrm{u}}{Dt}=\frac{\partial \mathrm{u}}{\partial t}+\mathrm{u}\frac{\partial \mathrm{u}}{\partial x}+\mathrm{v}\frac{\partial \mathrm{u}}{\partial y}+\mathrm{w}\frac{\partial \mathrm{u}}{\partial z}.
Expliquei: primeiro termo é variação temporal no mesmo ponto (local), os outros três são contribuição advectiva (produto de velocidade na direção de deslocamento pela variação espacial de \mathrm{u}).
  1. Componente y da aceleração (ou a_y):
a_y=\frac{D\mathrm{v}}{Dt}=\frac{\partial \mathrm{v}}{\partial t}+\mathrm{u}\frac{\partial \mathrm{v}}{\partial x}+\mathrm{v}\frac{\partial \mathrm{v}}{\partial y}+\mathrm{w}\frac{\partial \mathrm{v}}{\partial z}.
  1. Componente z da aceleração (ou a_z):
a_z=\frac{D\mathrm{w}}{Dt}=\frac{\partial \mathrm{w}}{\partial t}+\mathrm{u}\frac{\partial \mathrm{w}}{\partial x}+\mathrm{v}\frac{\partial \mathrm{w}}{\partial y}+\mathrm{w}\frac{\partial \mathrm{w}}{\partial z}.
  1. Em forma vetorial compacta, recapitulo:
\frac{D\mathrm{V}}{Dt}=\frac{\partial \mathrm{V}}{\partial t}+(\mathrm{V}\cdot\nabla)\mathrm{V},
onde (\mathrm{V}\cdot\nabla)\mathrm{V} tem as componentes explícitas escritas acima.

Passo 7

Agora a versão para escoamento permanente (isto é, quando o campo de velocidade não depende de t): tratamento do item (d).2
  1. Definição: escoamento permanente significa
\frac{\partial \mathrm{u}}{\partial t}=0,\qquad \frac{\partial \mathrm{v}}{\partial t}=0,\qquad \frac{\partial \mathrm{w}}{\partial t}=0.
  1. Então as componentes da aceleração reduzem-se às partes advectivas somente:
a_x=\mathrm{u}\frac{\partial \mathrm{u}}{\partial x}+\mathrm{v}\frac{\partial \mathrm{u}}{\partial y}+\mathrm{w}\frac{\partial \mathrm{u}}{\partial z},
a_y=\mathrm{u}\frac{\partial \mathrm{v}}{\partial x}+\mathrm{v}\frac{\partial \mathrm{v}}{\partial y}+\mathrm{w}\frac{\partial \mathrm{v}}{\partial z},
a_z=\mathrm{u}\frac{\partial \mathrm{w}}{\partial x}+\mathrm{v}\frac{\partial \mathrm{w}}{\partial y}+\mathrm{w}\frac{\partial \mathrm{w}}{\partial z}.
  1. Interpretação física: para escoamento permanente toda a aceleração que uma partícula experimentar é causada apenas pelas variações espaciais do campo (mudanças de direção e/ou módulo ao se deslocar), não por variação temporal no ponto.

Passo 8

Resumo didático final (pequeno reforço antes da resposta final): as duas contribuições da aceleração (local e advectiva) têm interpretações distintas e pode acontecer que uma seja zero e a outra não — por exemplo, escoamento estacionário em curva tem aceleração advectiva não nula (mudança de direção -> centrípeta) mesmo sem variação temporal; escoamento estacionário e uniforme em tubo reto tem ambas nulas.

Resposta

(a) Escoamento unidimensional: variação e movimento significativos somente numa direção; exemplo: \mathrm{V}=(\mathrm{u}(x,t),0,0), escoamento em um canal longo approximado por 1D.
Escoamento bidimensional: variação e movimento em duas direções; exemplo: \mathrm{V}=(\mathrm{u}(x,y,t),\mathrm{v}(x,y,t),0), escoamento superficial em um lago raso (plano horizontal).
(b) Euleriana. As bóias são fixas no espaço e medem variação temporal das grandezas num ponto fixo, logo é a descrição Euleriana.
(c)
(a) Conduto curvo, seção constante, vazão constante: aceleração local =\mathbf{0}; aceleração advectiva \neq\mathbf{0}.
(b) Conduto reto, seção constante, vazão constante: aceleração local =\mathbf{0}; aceleração advectiva =\mathbf{0} (caso plenamente desenvolvido e axial uniforme).
(c) Conduto longo, seção constante, vazão constante: aceleração local =\mathbf{0}; aceleração advectiva =\mathbf{0} (pleno desenvolvimento).
(d) Conduto com seção variável e vazão crescente no tempo: aceleração local \neq\mathbf{0}; aceleração advectiva \neq\mathbf{0}.
(d)
Componentes gerais da aceleração:
a_x=\frac{D\mathrm{u}}{Dt}=\frac{\partial \mathrm{u}}{\partial t}+\mathrm{u}\frac{\partial \mathrm{u}}{\partial x}+\mathrm{v}\frac{\partial \mathrm{u}}{\partial y}+\mathrm{w}\frac{\partial \mathrm{u}}{\partial z},
a_y=\frac{D\mathrm{v}}{Dt}=\frac{\partial \mathrm{v}}{\partial t}+\mathrm{u}\frac{\partial \mathrm{v}}{\partial x}+\mathrm{v}\frac{\partial \mathrm{v}}{\partial y}+\mathrm{w}\frac{\partial \mathrm{v}}{\partial z},
a_z=\frac{D\mathrm{w}}{Dt}=\frac{\partial \mathrm{w}}{\partial t}+\mathrm{u}\frac{\partial \mathrm{w}}{\partial x}+\mathrm{v}\frac{\partial \mathrm{w}}{\partial y}+\mathrm{w}\frac{\partial \mathrm{w}}{\partial z}.
Componentes para escoamento permanente ( \partial/\partial t=0):
a_x=\mathrm{u}\frac{\partial \mathrm{u}}{\partial x}+\mathrm{v}\frac{\partial \mathrm{u}}{\partial y}+\mathrm{w}\frac{\partial \mathrm{u}}{\partial z},
a_y=\mathrm{u}\frac{\partial \mathrm{v}}{\partial x}+\mathrm{v}\frac{\partial \mathrm{v}}{\partial y}+\mathrm{w}\frac{\partial \mathrm{v}}{\partial z},
a_z=\mathrm{u}\frac{\partial \mathrm{w}}{\partial x}+\mathrm{v}\frac{\partial \mathrm{w}}{\partial y}+\mathrm{w}\frac{\partial \mathrm{w}}{\partial z}.

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