O potencial de Lennard-Jones para a interação de dois átomos de Ar pode ser descrito como:
V=4 varepsilon[(r0r)^12-(r0r)^6]
onde varepsilon=1,66 times 10^-21 J e r0=342 pm.
c) Calcule a distância de equilíbrio entre os átomos de Ar.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre o potencial de Lennard-Jones, que descreve a interação entre dois átomos de argônio (Ar). Precisamos calcular a distância de equilíbrio entre esses átomos. Para isso, vamos utilizar conceitos de física que envolvem potenciais de interação e condições de equilíbrio. Precisaremos entender como derivar funções e encontrar o ponto onde a força entre os átomos é nula.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a distância de equilíbrio ocorre quando o potencial de interação atinge seu valor mínimo. Isso significa que, nesse ponto, a força entre os átomos é zero. Matemáticamente, para encontrar esse ponto, devemos derivar a função do potencial em relação à distância $ r $ e igualar a derivada a zero.

Passo 3

A função do potencial de Lennard-Jones é dada por:
V(r) = 4 varepsilon [ (r0r)^12 - (r0r)^6 ]
Para encontrar o mínimo desse potencial, vamos derivar $ V® $ em relação a $ r $ e igualar a zero:
V(r)

Passo 4

Vamos calcular a derivada de $ V® $:
V(r)
Simplificando:
dVdr = 4 varepsilon [ -12 (r0^12r^13) + 6 (r0^6r^7) ] = 0
Dividindo ambos os lados por 6:
-12 (r0r)^12 + 6 (r0r)^6 = 0
Adicionando $ 2 \left(\frac{r_0}{r}\right)^{12} $ em ambos os lados:
-2 (r0r)^12 + (r0r)^6 = 0
Dividindo ambos os lados por $ \left(\frac{r_0}{r}\right)^6 $:
2 (r0r)^12
Resolvendo para $ \left(\frac{r_0}{r}\right)^6 $:
(r0r)^6 = 2 (r0r)^12
Tirando a raiz sexta:
(r0r)^6
Portanto:
1 = 2 (r0r)^6

Passo 5

Agora, substituímos os valores fornecidos:
  • $ r_0 = 342 , pm $
  • $ r = 342 , pm \times 2^{1/6} $
Calculando $ 2^{1/6} $:
r0 = 342 , pm
Então:
r = 342 , pm times 2^1/6

Resposta

A distância de equilíbrio entre os átomos de argônio é aproximadamente $ 383 , pm $.

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