(FUVEST-78) É dado o número complexo \mathrm{w}=\left[\cos \left(\frac{\pi}{3}\right)+\mathrm{i} \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{3}\right)\right]. Calcule \mathrm{w}+\mathrm{w}^{2}+\mathrm{w}^{3}+\mathrm{w}^{4}+\mathrm{w}^{5}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: os valores trigonométricos \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) e \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) podem ser usados (sabemos que \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\tfrac{1}{2} e \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}). Nada mais é solicitado além dessa soma.
Passo 2
Primeiro vamos escrever \mathrm{w} de forma explícita usando os valores trigonométricos conhecidos:
e argumento (ângulo) \frac{\pi}{3}. Ou seja, \mathrm{w} está na circunferência unitária e pode ser visto como um número complexo na forma polar \mathrm{w}=\operatorname{cis}\!\left(\frac{\pi}{3}\right) (ou, se preferir, e^{\mathrm{i}\pi/3}).
Passo 3
Vamos usar uma propriedade importante de números complexos em forma polar: ao elevar um complexo à potência n multiplicamos o argumento por n e elevamos o módulo à potência n. Como |\mathrm{w}|=1, segue que
Portanto \mathrm{w} é uma raiz sexta da unidade (um dos seis números com essa propriedade). Note que \mathrm{w}\neq 1 porque seu argumento é \frac{\pi}{3}\neq 0.
Passo 4
Agora vamos usar a fórmula da soma geométrica. Para qualquer número complexo (ou real) r com r\neq 1 e inteiro n\ge1 vale: