(FUVEST-78) É dado o número complexo \mathrm{w}=\left[\cos \left(\frac{\pi}{3}\right)+\mathrm{i} \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{3}\right)\right]. Calcule \mathrm{w}+\mathrm{w}^{2}+\mathrm{w}^{3}+\mathrm{w}^{4}+\mathrm{w}^{5}.

Passo 1

O enunciado dá o número complexo
\mathrm{w}=\left[\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)+\mathrm{i}\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right]
e pede que a gente calcule a soma
\mathrm{w}+\mathrm{w}^{2}+\mathrm{w}^{3}+\mathrm{w}^{4}+\mathrm{w}^{5}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: os valores trigonométricos \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) e \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) podem ser usados (sabemos que \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\tfrac{1}{2} e \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}). Nada mais é solicitado além dessa soma.

Passo 2

Primeiro vamos escrever \mathrm{w} de forma explícita usando os valores trigonométricos conhecidos:
\mathrm{w}=\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)+\mathrm{i}\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}+\mathrm{i}\,\frac{\sqrt{3}}{2}.
Explicando o que isso significa: esse número tem módulo
|\mathrm{w}|=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}=\sqrt{1}=1,
e argumento (ângulo) \frac{\pi}{3}. Ou seja, \mathrm{w} está na circunferência unitária e pode ser visto como um número complexo na forma polar \mathrm{w}=\operatorname{cis}\!\left(\frac{\pi}{3}\right) (ou, se preferir, e^{\mathrm{i}\pi/3}).

Passo 3

Vamos usar uma propriedade importante de números complexos em forma polar: ao elevar um complexo à potência n multiplicamos o argumento por n e elevamos o módulo à potência n. Como |\mathrm{w}|=1, segue que
\mathrm{w}^{6}=\operatorname{cis}\!\left(6\cdot\frac{\pi}{3}\right)=\operatorname{cis}(2\pi)=\cos(2\pi)+\mathrm{i}\sin(2\pi)=1.
Portanto \mathrm{w} é uma raiz sexta da unidade (um dos seis números com essa propriedade). Note que \mathrm{w}\neq 1 porque seu argumento é \frac{\pi}{3}\neq 0.

Passo 4

Agora vamos usar a fórmula da soma geométrica. Para qualquer número complexo (ou real) r com r\neq 1 e inteiro n\ge1 vale:
\sum_{k=0}^{n-1} r^{k}=1+r+r^{2}+\cdots+r^{n-1}=\frac{1-r^{n}}{1-r}.
Breve derivação (útil para lembrar na prova): seja S=1+r+\cdots+r^{n-1}. Multiplicando por 1-r obtemos (1-r)S=S-rS=1-r^{n}, daí S=(1-r^{n})/(1-r).

Passo 5

Aplicando a fórmula com r=\mathrm{w} e n=6 obtemos
1+\mathrm{w}+\mathrm{w}^{2}+\mathrm{w}^{3}+\mathrm{w}^{4}+\mathrm{w}^{5}=\frac{1-\mathrm{w}^{6}}{1-\mathrm{w}}.
Mas de \mathrm{w}^{6}=1 (Passo 3) segue que o numerador é zero, então
1+\mathrm{w}+\mathrm{w}^{2}+\mathrm{w}^{3}+\mathrm{w}^{4}+\mathrm{w}^{5}=0.

Passo 6

Da igualdade anterior subtraímos 1 dos dois lados para isolar a soma pedida:
\mathrm{w}+\mathrm{w}^{2}+\mathrm{w}^{3}+\mathrm{w}^{4}+\mathrm{w}^{5}=-1.
Isso resolve o problema: a soma dos cinco primeiros potências (da 1 até a 5) de \mathrm{w} é -1.

Resposta

-1

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