Dado o número complexo
, determine o complexo w , tal que
.
Passo 1
O enunciado dá o número complexo
e pede para determinar o complexo
tal que
Informações relevantes que já temos no enunciado:
- o ângulo usado é
; - a soma é das potências de
de a ; - o número complexo
está dado na forma , que é uma forma que facilita trabalhar com potências.
Passo 2
Transformar
para a forma exponencial (Euler) torna potências fáceis de manipular. Pela fórmula de Euler temos
Aplicando com
,
Explicando bem: essa igualdade significa que
tem módulo
e argumento
; elevar
a uma potência
equivale a multiplicar o argumento por
:
.
Passo 3
A soma pedida é uma soma geométrica de potências de
:
A fórmula geral para a soma geométrica (quando
) é
Breve justificativa dessa fórmula: multiplicando a soma por
obtemos cancelamentos telescópicos; esse é um truque padrão que sempre funciona para soma de potências.
Aqui, aplicando com
,
Passo 4
Calcular
usando a forma exponencial:
Os valores trigonométricos conhecidos dão
logo
Passo 5
Substituímos
na fórmula da soma:
Agora escrevemos
em coordenadas reais-imaginárias para multiplicar:
Multiplicando
por
:
Portanto o numerador da fração ficou simples:
Passo 6
Calcular o denominador
:
Para dividir um complexo por outro é comum multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador. Primeiro calculamos o quadrado do módulo do denominador (que aparecerá no produto com o conjugado):
Expandindo:
e somando
obtemos
Passo 7
Agora calculamos
multiplicando numerador e denominador pelo conjugado de
, que é
. Assim,
Calculamos o produto no numerador passo a passo:
e
Somando essas duas parcelas obtemos
Logo
Passo 8
Podemos simplificar a fração racionalizando o denominador multiplicando numerador e denominador por
(porque
):
Calculamos o produto no numerador: a parte real
a parte imaginária
pois
(é uma multiplicação que pode ser verificada expandindo). Portanto o numerador é
, e dividindo por
obtemos