Dado o número complexo \mathrm{z}=\left[\cos \left(\frac{\pi}{4}\right)+\mathrm{i} \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{4}\right)\right], determine o complexo w , tal que \mathrm{w}=\mathrm{z}+\mathrm{z}^{2}+\mathrm{z}^{3}+\mathrm{z}^{4}+\mathrm{z}^{5}+\mathrm{z}^{6}.

Passo 1

O enunciado dá o número complexo
\mathrm{z}=\left[\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+\mathrm{i}\cdot\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{4}\right)\right]
e pede para determinar o complexo \mathrm{w} tal que
\mathrm{w}=\mathrm{z}+\mathrm{z}^{2}+\mathrm{z}^{3}+\mathrm{z}^{4}+\mathrm{z}^{5}+\mathrm{z}^{6}.
Informações relevantes que já temos no enunciado:
  • o ângulo usado é \frac{\pi}{4};
  • a soma é das potências de \mathrm{z} de 1 a 6;
  • o número complexo \mathrm{z} está dado na forma \cos+\mathrm{i}\sin, que é uma forma que facilita trabalhar com potências.

Passo 2

Transformar \mathrm{z} para a forma exponencial (Euler) torna potências fáceis de manipular. Pela fórmula de Euler temos
\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta = e^{\mathrm{i}\theta}.
Aplicando com \theta=\frac{\pi}{4},
\mathrm{z}=e^{\mathrm{i}\pi/4}.
Explicando bem: essa igualdade significa que \mathrm{z} tem módulo 1 e argumento \frac{\pi}{4}; elevar \mathrm{z} a uma potência k equivale a multiplicar o argumento por k: \mathrm{z}^k=e^{\mathrm{i}k\pi/4}.

Passo 3

A soma pedida é uma soma geométrica de potências de \mathrm{z}:
\mathrm{w}=\sum_{k=1}^{6}\mathrm{z}^{k}.
A fórmula geral para a soma geométrica (quando \mathrm{z}\neq 1) é
\sum_{k=1}^{n}\mathrm{z}^{k}=\mathrm{z}\,\frac{1-\mathrm{z}^{n}}{1-\mathrm{z}}.
Breve justificativa dessa fórmula: multiplicando a soma por (1-\mathrm{z}) obtemos cancelamentos telescópicos; esse é um truque padrão que sempre funciona para soma de potências.
Aqui, aplicando com n=6,
\mathrm{w}=\mathrm{z}\,\frac{1-\mathrm{z}^{6}}{1-\mathrm{z}}.

Passo 4

Calcular \mathrm{z}^{6} usando a forma exponencial:
\mathrm{z}^{6}=e^{\mathrm{i}6\pi/4}=e^{\mathrm{i}3\pi/2}.
Os valores trigonométricos conhecidos dão
\cos\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=0,\qquad \sin\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=-1,
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\mathrm{z}^{6}=0+\mathrm{i}(-1)=-\mathrm{i}.

Passo 5

Substituímos \mathrm{z}^{6} na fórmula da soma:
\mathrm{w}=\mathrm{z}\,\frac{1-(-\mathrm{i})}{1-\mathrm{z}}=\mathrm{z}\,\frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{z}}.
Agora escrevemos \mathrm{z} em coordenadas reais-imaginárias para multiplicar:
\mathrm{z}=\cos\left(\tfrac{\pi}{4}\right)+\mathrm{i}\sin\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\tfrac{\sqrt{2}}{2}+\mathrm{i}\tfrac{\sqrt{2}}{2}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}(1+\mathrm{i}).
Multiplicando \mathrm{z} por (1+\mathrm{i}):
\mathrm{z}(1+\mathrm{i})=\tfrac{\sqrt{2}}{2}(1+\mathrm{i})(1+\mathrm{i})=\tfrac{\sqrt{2}}{2}(1+2\mathrm{i}+\mathrm{i}^{2})=\tfrac{\sqrt{2}}{2}(1+2\mathrm{i}-1)=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot 2\mathrm{i}=\sqrt{2}\,\mathrm{i}.
Portanto o numerador da fração ficou simples:
\mathrm{z}(1+\mathrm{i})=\sqrt{2}\,\mathrm{i}.

Passo 6

Calcular o denominador 1-\mathrm{z}:
1-\mathrm{z}=1-\tfrac{\sqrt{2}}{2}(1+\mathrm{i})=\left(1-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)-\mathrm{i}\tfrac{\sqrt{2}}{2}.
Para dividir um complexo por outro é comum multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador. Primeiro calculamos o quadrado do módulo do denominador (que aparecerá no produto com o conjugado):
\left|1-\mathrm{z}\right|^{2}=\left(1-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}.
Expandindo:
\left(1-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=1-\sqrt{2}+\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2}-\sqrt{2},
e somando \left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{2} obtemos
\left|1-\mathrm{z}\right|^{2}= \left(\tfrac{3}{2}-\sqrt{2}\right)+\tfrac{1}{2}=2-\sqrt{2}.

Passo 7

Agora calculamos \mathrm{w}=\dfrac{\sqrt{2}\,\mathrm{i}}{1-\mathrm{z}} multiplicando numerador e denominador pelo conjugado de 1-\mathrm{z}, que é \left(1-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)+\mathrm{i}\tfrac{\sqrt{2}}{2}. Assim,
\mathrm{w}=\frac{\sqrt{2}\,\mathrm{i}\left[\left(1-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)+\mathrm{i}\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right]}{2-\sqrt{2}}.
Calculamos o produto no numerador passo a passo:
\sqrt{2}\,\mathrm{i}\left(1-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\mathrm{i}\left(\sqrt{2}-1\right),
e
\sqrt{2}\,\mathrm{i}\cdot \mathrm{i}\tfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot \mathrm{i}^{2}=1\cdot(-1)=-1.
Somando essas duas parcelas obtemos
\text{numerador}=-1+\mathrm{i}\left(\sqrt{2}-1\right).
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\mathrm{w}=\frac{-1+\mathrm{i}\left(\sqrt{2}-1\right)}{2-\sqrt{2}}.

Passo 8

Podemos simplificar a fração racionalizando o denominador multiplicando numerador e denominador por 2+\sqrt{2} (porque (2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})=4-2=2):
\mathrm{w}=\frac{\big(-1+\mathrm{i}(\sqrt{2}-1)\big)(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})} =\frac{\big(-1+\mathrm{i}(\sqrt{2}-1)\big)(2+\sqrt{2})}{2}.
Calculamos o produto no numerador: a parte real
-1\cdot(2+\sqrt{2})=-2-\sqrt{2},
a parte imaginária
\mathrm{i}(\sqrt{2}-1)(2+\sqrt{2})=\mathrm{i}\cdot\sqrt{2}
pois (\sqrt{2}-1)(2+\sqrt{2})=\sqrt{2} (é uma multiplicação que pode ser verificada expandindo). Portanto o numerador é -2-\sqrt{2}+\mathrm{i}\sqrt{2}, e dividindo por 2 obtemos
\mathrm{w}=-1-\tfrac{\sqrt{2}}{2}+\mathrm{i}\tfrac{\sqrt{2}}{2}.

Resposta

\mathrm{w}=-1-\tfrac{\sqrt{2}}{2}+\mathrm{i}\tfrac{\sqrt{2}}{2}

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