O número complexo
é uma das raízes quartas do número complexo:
.
Passo 1
O enunciado dá o número complexo
e o número complexo
A pergunta implícita é verificar que
é uma das raízes quartas de
; ou seja, mostrar que
Passo 2
Primeiro eu te explico as ferramentas que vamos usar (passo a passo, bem mastigado).
Definição de forma polar e módulo/argumento:
- Um número complexo
pode ser escrito em forma polar como , onde é o módulo (distância até a origem) e é o argumento (ângulo medido a partir do eixo real positivo). - O módulo
é calculado por se , e o argumento é o ângulo tal que e .
Teorema de De Moivre (ferramenta principal):
- Para
e inteiro ,
Esse teorema diz que, para elevar um número em forma polar a uma potência inteira, basta elevar o módulo à potência e multiplicar o ângulo por essa potência. É exatamente o que vamos aplicar para
.
Passo 3
Identificar o módulo e o argumento de
.
Observe a parte entre colchetes:
pela identidade trigonométrica básica
. Isso mostra que o fator entre colchetes tem módulo
. Portanto o módulo de
é só o coeficiente
. Em notação:
O argumento de
é o ângulo que aparece no cos e no sin, isto é
Logo
já está em forma polar com
e
.
Passo 4
Agora aplicamos De Moivre para elevar
à quarta potência:
Calculemos separadamente o módulo e o ângulo resultantes.
Módulo:
Ângulo:
Portanto
Passo 5
Agora avaliamos os senos e cossenos conhecidos em
. Sabemos que
Substituindo em
:
Fazendo a multiplicação:
Logo
Passo 6
Conclusão lógica: mostramos explicitamente que
. Isso significa exatamente que
é uma raiz quarta de
. (Se quiser: existem quatro raízes quartas de
, obtidas multiplicando o argumento
por outras escolhas congruentes a
,
, mas não precisamos disso aqui.)