O número complexo \mathrm{Z}=\sqrt[8]{2}\left[\cos \left(\frac{\pi}{16}\right)+\mathrm{i} \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{16}\right)\right] é uma das raízes quartas do número complexo: \mathrm{R}: 1+\mathrm{i}.

Passo 1

O enunciado dá o número complexo
Z = \sqrt[8]{2}\left[\cos\left(\frac{\pi}{16}\right) + \mathrm{i}\,\sin\left(\frac{\pi}{16}\right)\right]
e o número complexo
R = 1 + \mathrm{i}.
A pergunta implícita é verificar que Z é uma das raízes quartas de R; ou seja, mostrar que
Z^{4} = R.

Passo 2

Primeiro eu te explico as ferramentas que vamos usar (passo a passo, bem mastigado).
Definição de forma polar e módulo/argumento:
  • Um número complexo w pode ser escrito em forma polar como w = r\big(\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta\big), onde r=|w| é o módulo (distância até a origem) e \theta=\arg(w) é o argumento (ângulo medido a partir do eixo real positivo).
  • O módulo r é calculado por r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} se w=x+ \mathrm{i}y, e o argumento \theta é o ângulo tal que \cos\theta = x/r e \sin\theta = y/r.
Teorema de De Moivre (ferramenta principal):
  • Para w = r(\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta) e inteiro n,
w^{n} = r^{n}\big(\cos(n\theta) + \mathrm{i}\sin(n\theta)\big).
Esse teorema diz que, para elevar um número em forma polar a uma potência inteira, basta elevar o módulo à potência e multiplicar o ângulo por essa potência. É exatamente o que vamos aplicar para n=4.

Passo 3

Identificar o módulo e o argumento de Z.
Observe a parte entre colchetes:
\cos^{2}\!\left(\frac{\pi}{16}\right) + \sin^{2}\!\left(\frac{\pi}{16}\right) = 1,
pela identidade trigonométrica básica \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1. Isso mostra que o fator entre colchetes tem módulo 1. Portanto o módulo de Z é só o coeficiente \sqrt[8]{2}. Em notação:
|Z| = \sqrt[8]{2}.
O argumento de Z é o ângulo que aparece no cos e no sin, isto é
\arg(Z) = \frac{\pi}{16}.
Logo Z já está em forma polar com r=\sqrt[8]{2} e \theta=\frac{\pi}{16}.

Passo 4

Agora aplicamos De Moivre para elevar Z à quarta potência:
Z^{4} = \big(\sqrt[8]{2}\big)^{4}\left[\cos\!\left(4\cdot\frac{\pi}{16}\right) + \mathrm{i}\sin\!\left(4\cdot\frac{\pi}{16}\right)\right].
Calculemos separadamente o módulo e o ângulo resultantes.
Módulo:
\big(\sqrt[8]{2}\big)^{4} = \big(2^{1/8}\big)^{4} = 2^{4/8} = 2^{1/2} = \sqrt{2}.
Ângulo:
4\cdot\frac{\pi}{16} = \frac{\pi}{4}.
Portanto
Z^{4} = \sqrt{2}\left[\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \mathrm{i}\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right].

Passo 5

Agora avaliamos os senos e cossenos conhecidos em \pi/4. Sabemos que
\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}.
Substituindo em Z^{4}:
Z^{4} = \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \mathrm{i}\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right).
Fazendo a multiplicação:
\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{2} = 1.
Logo
Z^{4} = 1 + \mathrm{i}.

Passo 6

Conclusão lógica: mostramos explicitamente que Z^{4} = 1 + \mathrm{i}. Isso significa exatamente que Z é uma raiz quarta de R. (Se quiser: existem quatro raízes quartas de 1+\mathrm{i}, obtidas multiplicando o argumento \frac{\pi}{16} por outras escolhas congruentes a \frac{\pi}{16} + \frac{2k\pi}{4}, k=0,1,2,3, mas não precisamos disso aqui.)

Resposta

Z^{4}=1+\mathrm{i}

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