Represente no plano de Argand-Gauss o conjunto dos pontos z tais que:
|\mathrm{z}|=1

Passo 1

O enunciado pede: representar no plano de Argand-Gauss (plano complexo) o conjunto dos pontos z tais que |z|=1.
Informações dadas: a única condição é |z|=1.
Objetivo claro: encontrar a descrição geométrica (equação no plano e forma paramétrica) desse conjunto e explicar como desenhá-lo.

Passo 2

Começando pelo básico: qualquer número complexo z pode ser escrito como
z = x + i y
onde x e y são números reais (as coordenadas no plano de Argand). Aqui x é a abscissa e y é a ordenada do ponto que representa z.

Passo 3

Definição de módulo (distância ao origem): para z = x + i y,
|z| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}.
Explicação: esse valor vem do Teorema de Pitágoras — a distância do ponto (x,y) até a origem (0,0) é a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos |x| e |y|.

Passo 4

Agora aplicamos a condição do enunciado |z|=1. Substituindo a fórmula do módulo e elevando ao quadrado (seguro porque ambos os lados são não negativos), obtemos
x^{2} + y^{2} = 1.
Isto é uma equação no plano (x,y).

Passo 5

Interpretação geométrica: a equação
x^{2} + y^{2} = 1
é exatamente a equação de uma circunferência de raio 1 centrada na origem. Portanto o conjunto pedido é a circunferência unitária — todos os pontos que estão à distância 1 do centro (0,0). É importante notar que são somente os pontos da circunferência (não o disco interior), porque a igualdade |z|=1 fixa a distância.

Passo 6

Forma paramétrica útil (muito usada em provas): qualquer ponto da circunferência pode ser escrito usando um ângulo \theta medido a partir do eixo real positivo:
z = \cos\theta + i\sin\theta \quad\text{ou}\quad z = e^{i\theta},
com \theta\in[0,2\pi). Explicação rápida: \cos\theta e \sin\theta são as coordenadas x e y do ponto na circunferência; a forma e^{i\theta} vem da fórmula de Euler e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.

Passo 7

Exemplos concretos para fixar a ideia:
\begin{aligned} \theta &= 0 &\Rightarrow&\\ z=1=(1,0)\\\ \theta &= \tfrac{\pi}{2} &\Rightarrow&\\ z=i=(0,1)\\\ \theta &= \pi &\Rightarrow&\\ z=-1=(-1,0)\\\ \theta &= \tfrac{3\pi}{2} &\Rightarrow&\\ z=-i=(0,-1) \end{aligned}
Ao desenhar: trace um círculo de raio 1 centrado na origem e marque alguns desses pontos; qualquer ponto sobre essa circunferência representa um z com |z|=1.

Resposta

\{z\in\mathbb C:\\ |z|=1\}=\{x+iy\in\mathbb R^{2}:\\ x^{2}+y^{2}=1\}
\{z\in\mathbb C:\\ |z|=1\}=\{e^{i\theta}:\\ \theta\in[0,2\pi)\}

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