Represente no plano de Argand-Gauss o conjunto dos pontos z tais que:
Passo 1
O enunciado pede: representar no plano de Argand-Gauss (plano complexo) o conjunto dos pontos
tais que
.
Informações dadas: a única condição é .
Objetivo claro: encontrar a descrição geométrica (equação no plano e forma paramétrica) desse conjunto e explicar como desenhá-lo.
Informações dadas: a única condição é
Objetivo claro: encontrar a descrição geométrica (equação no plano e forma paramétrica) desse conjunto e explicar como desenhá-lo.
Passo 2
Começando pelo básico: qualquer número complexo
pode ser escrito como
onde
e
são números reais (as coordenadas no plano de Argand). Aqui
é a abscissa e
é a ordenada do ponto que representa
.
Passo 3
Definição de módulo (distância ao origem): para
,
Explicação: esse valor vem do Teorema de Pitágoras — a distância do ponto
até a origem
é a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos
e
.
Passo 4
Agora aplicamos a condição do enunciado
. Substituindo a fórmula do módulo e elevando ao quadrado (seguro porque ambos os lados são não negativos), obtemos
Isto é uma equação no plano
.
Passo 5
Interpretação geométrica: a equação
é exatamente a equação de uma circunferência de raio
centrada na origem. Portanto o conjunto pedido é a circunferência unitária — todos os pontos que estão à distância
do centro
. É importante notar que são somente os pontos da circunferência (não o disco interior), porque a igualdade
fixa a distância.
Passo 6
Forma paramétrica útil (muito usada em provas): qualquer ponto da circunferência pode ser escrito usando um ângulo
medido a partir do eixo real positivo:
com
. Explicação rápida:
e
são as coordenadas
e
do ponto na circunferência; a forma
vem da fórmula de Euler
.
Passo 7
Exemplos concretos para fixar a ideia:
Ao desenhar: trace um círculo de raio
centrado na origem e marque alguns desses pontos; qualquer ponto sobre essa circunferência representa um
com
.