1. Fuvest-SP
O conjunto das soluções, no conjunto \mathbb{R} dos números reais, da inequação \frac{x}{x+1}>x é:
A) vazio
B) \mathbb{R}
C) \{x \in \mathbb{R}: x<0\}
D) \{x \in \mathbb{R}: x>-1\}
E) \{x \in \mathbb{R}: x<-1\}

Passo 1

O enunciado pede o conjunto de soluções, em \mathbb{R}, da inequação
\frac{x}{x+1} > x.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão tem um denominador x+1, portanto não está definida em x = -1. Logo x \neq -1.
  • Queremos todos os números reais x que tornam a desigualdade verdadeira (excluindo pontos fora do domínio).

Passo 2

Primeiro passo algébrico: colocar tudo num único membro para trabalhar com uma única expressão. Subtraímos x dos dois lados:
\frac{x}{x+1} - x > 0.
Agora vamos colocar as frações sobre o mesmo denominador x+1. Lembre que x = \dfrac{x(x+1)}{x+1} quando se escreve com denominador x+1.

Passo 3

Fazendo a subtração com denominador comum:
\frac{x}{x+1} - x = \frac{x}{x+1} - \frac{x(x+1)}{x+1} = \frac{x - x(x+1)}{x+1}.
Explico a etapa: para subtrair frações com o mesmo denominador, subtrai-se os numeradores e mantém-se o denominador; aqui transformamos x em \dfrac{x(x+1)}{x+1} para poder subtrair.

Passo 4

Simplificando o numerador:
x - x(x+1) = x - (x^2 + x) = x - x^2 - x = -x^2.
Portanto a desigualdade ficou
\frac{-x^2}{x+1} > 0.

Passo 5

Para facilitar a análise de sinais, multiplico numerador e denominador por -1 (isso é equivalente a multiplicar ambos os lados da desigualdade por -1; ao multiplicar uma desigualdade por -1 o sentido da desigualdade inverte):
\frac{-x^2}{x+1} > 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{x^2}{x+1} < 0.
Aqui vale uma mini-aula sobre sinais: \dfrac{x^2}{x+1} é uma fração cujo numerador x^2 é sempre não-negativo (isto é, x^2 \ge 0 para todo x), e o denominador x+1 muda de sinal em x = -1.

Passo 6

Analisando \dfrac{x^2}{x+1} < 0:
  • O numerador x^2 é igual a 0 somente em x=0. Se x=0, a fração vale 0, e não satisfaz a desigualdade estrita <0.
  • Para uma fração ter valor negativo, é necessário que o numerador e o denominador tenham sinais opostos. Como o numerador x^2 é sempre maior ou igual a zero, a única forma de a fração ser negativa é que o numerador seja positivo ( x^2>0, ou seja x\neq 0) e o denominador seja negativo ( x+1<0).
  • Então exigimos simultaneamente x \neq 0 e x+1<0. A condição x+1<0 equivale a x < -1.

Passo 7

Juntando tudo e lembrando que x=-1 está fora do domínio:
  • A condição x < -1 já implica x \neq 0 e também exclui x=-1.
  • Portanto a solução da inequação é todo x estritamente menor que -1.
Como checagem rápida: pegue x=-2. Temos \dfrac{-2}{-1}=2 e 2>-2 é verdadeiro, então x=-2 deve pertencer à solução, o que confirma nossa conclusão.

Resposta

\{x \in \mathbb{R} : x < -1\}

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