- Fuvest-SP
O conjunto das soluções, no conjunto
dos números reais, da inequação
é:
A) vazio
B)
C)
D)
E)
A) vazio
B)
C)
D)
E)
Passo 1
O enunciado pede o conjunto de soluções, em
, da inequação
Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão tem um denominador
, portanto não está definida em . Logo . - Queremos todos os números reais
que tornam a desigualdade verdadeira (excluindo pontos fora do domínio).
Passo 2
Primeiro passo algébrico: colocar tudo num único membro para trabalhar com uma única expressão. Subtraímos
dos dois lados:
Agora vamos colocar as frações sobre o mesmo denominador
. Lembre que
quando se escreve com denominador
.
Passo 3
Fazendo a subtração com denominador comum:
Explico a etapa: para subtrair frações com o mesmo denominador, subtrai-se os numeradores e mantém-se o denominador; aqui transformamos
em
para poder subtrair.
Passo 4
Simplificando o numerador:
Portanto a desigualdade ficou
Passo 5
Para facilitar a análise de sinais, multiplico numerador e denominador por
(isso é equivalente a multiplicar ambos os lados da desigualdade por
; ao multiplicar uma desigualdade por
o sentido da desigualdade inverte):
Aqui vale uma mini-aula sobre sinais:
é uma fração cujo numerador
é sempre não-negativo (isto é,
para todo
), e o denominador
muda de sinal em
.
Passo 6
Analisando
:
- O numerador
é igual a somente em . Se , a fração vale , e não satisfaz a desigualdade estrita . - Para uma fração ter valor negativo, é necessário que o numerador e o denominador tenham sinais opostos. Como o numerador
é sempre maior ou igual a zero, a única forma de a fração ser negativa é que o numerador seja positivo ( , ou seja ) e o denominador seja negativo ( ). - Então exigimos simultaneamente
e . A condição equivale a .
Passo 7
Juntando tudo e lembrando que
está fora do domínio:
- A condição
já implica e também exclui . - Portanto a solução da inequação é todo
estritamente menor que .
Como checagem rápida: pegue
. Temos
e
é verdadeiro, então
deve pertencer à solução, o que confirma nossa conclusão.