- Fuvest-SP
Seja
, em que a é um número real diferente de zero. Determine os valores de
para os quais as raízes da equação
são reais e o número
pertence ao intervalo fechado compreendido entre as raízes.
Passo 1
O enunciado dá a função quadrática
com
e
. Pede-se: determinar os valores de
tais que (1) as raízes de
sejam reais e (2) o número
pertença ao intervalo fechado compreendido entre as raízes. Informações relevantes fornecidas: a expressão de
e a restrição
. As perguntas são: quais valores de
satisfazem simultaneamente (i) raízes reais e (ii)
está entre as raízes (pode ser igual a uma delas).
Passo 2
Condição para as raízes serem reais: o discriminante deve ser não negativo. Para uma quadrática
o discriminante é
. Aqui
e
. Portanto calculemos
:
Desenvolvendo:
Queremos
, isto é
Para resolver, achamos as raízes da quadrática igual a zero:
Como a parábola
abre para cima, a desigualdade
vale para
Passo 3
Interpretando a condição “o número
pertence ao intervalo fechado compreendido entre as raízes”: se as raízes reais são
e
(assumindo
), isso significa
Uma forma prática de usar isso é escrever a quadrática em fatorada:
Assim
Observe que, se
está entre as raízes, então
e
, logo o produto
. Portanto o sinal de
depende do sinal de
:
- Se
, então . - Se
, então .
A igualdadecorresponde ao caso onde é exatamente uma das raízes (permitido pelo enunciado, pois intervalo fechado inclui extremos).
Passo 4
Calculemos
explicitamente a partir da expressão dada:
Desenvolvendo:
Passo 5
A partir do Passo 3 e do Passo 4, impomos as desigualdades conforme o sinal de
.
Caso 1:
. Então devemos ter
, isto é
Mas isso contradiz
. Logo não existe
que satisfaça a condição “3 entre as raízes”.
Passo 6
Caso 2:
. Então devemos ter
, isto é
Combinando com
obtemos
Portanto, a partir da condição de “3 entre as raízes” e do sinal de
, a possível faixa é
.
Passo 7
Agora intersectamos essa faixa com a condição de raízes reais obtida no Passo 2. Lembrando:
Note que
. A faixa obtida no Passo 6 é
, que está inteiramente à esquerda de
, portanto satisfaz a condição
. A interseção é simplesmente
Lembrando a restrição inicial
, já excluímos
.