1. Fuvest-SP
Seja f(x)=a x^{2}+(1-a) x+1, em que a é um número real diferente de zero. Determine os valores de a para os quais as raízes da equação f(x)=0 são reais e o número x=3 pertence ao intervalo fechado compreendido entre as raízes.

Passo 1

O enunciado dá a função quadrática f(x)=a x^{2}+(1-a) x+1 com a\in\mathbb{R} e a\neq0. Pede-se: determinar os valores de a tais que (1) as raízes de f(x)=0 sejam reais e (2) o número x=3 pertença ao intervalo fechado compreendido entre as raízes. Informações relevantes fornecidas: a expressão de f(x) e a restrição a\neq0. As perguntas são: quais valores de a satisfazem simultaneamente (i) raízes reais e (ii) 3 está entre as raízes (pode ser igual a uma delas).

Passo 2

Condição para as raízes serem reais: o discriminante deve ser não negativo. Para uma quadrática a x^2 + b x + c o discriminante é \Delta = b^2 - 4ac. Aqui b=1-a e c=1. Portanto calculemos \Delta:
\Delta = (1-a)^2 - 4\cdot a \cdot 1.
Desenvolvendo:
\Delta = 1 - 2a + a^2 - 4a = a^2 - 6a + 1.
Queremos \Delta \ge 0, isto é
a^2 - 6a + 1 \ge 0.
Para resolver, achamos as raízes da quadrática igual a zero:
a = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{2}.
Como a parábola a^2-6a+1 abre para cima, a desigualdade \ge0 vale para
a \le 3 - 2\sqrt{2}\quad\text{ou}\quad a \ge 3 + 2\sqrt{2}.

Passo 3

Interpretando a condição “o número x=3 pertence ao intervalo fechado compreendido entre as raízes”: se as raízes reais são r_1 e r_2 (assumindo r_1\le r_2), isso significa
r_1 \le 3 \le r_2.
Uma forma prática de usar isso é escrever a quadrática em fatorada:
f(x)=a(x-r_1)(x-r_2).
Assim
f(3)=a(3-r_1)(3-r_2).
Observe que, se 3 está entre as raízes, então (3-r_1)\ge0 e (3-r_2)\le0, logo o produto (3-r_1)(3-r_2)\le0. Portanto o sinal de f(3) depende do sinal de a:
  • Se a>0, então f(3)\le0.
  • Se a<0, então f(3)\ge0.
    A igualdade f(3)=0 corresponde ao caso onde 3 é exatamente uma das raízes (permitido pelo enunciado, pois intervalo fechado inclui extremos).

Passo 4

Calculemos f(3) explicitamente a partir da expressão dada:
f(3)=a\cdot 3^2 + (1-a)\cdot 3 + 1.
Desenvolvendo:
f(3)=9a + 3 - 3a + 1 = 6a + 4.

Passo 5

A partir do Passo 3 e do Passo 4, impomos as desigualdades conforme o sinal de a.
Caso 1: a>0. Então devemos ter f(3)\le0, isto é
6a + 4 \le 0 \quad\Rightarrow\quad 6a \le -4 \quad\Rightarrow\quad a \le -\tfrac{2}{3}.
Mas isso contradiz a>0. Logo não existe a>0 que satisfaça a condição “3 entre as raízes”.

Passo 6

Caso 2: a<0. Então devemos ter f(3)\ge0, isto é
6a + 4 \ge 0 \quad\Rightarrow\quad 6a \ge -4 \quad\Rightarrow\quad a \ge -\tfrac{2}{3}.
Combinando com a<0 obtemos
-\tfrac{2}{3} \le a < 0.
Portanto, a partir da condição de “3 entre as raízes” e do sinal de a, a possível faixa é a\in[-\tfrac{2}{3},0).

Passo 7

Agora intersectamos essa faixa com a condição de raízes reais obtida no Passo 2. Lembrando:
\Delta\ge0 \Longleftrightarrow a \le 3 - 2\sqrt{2}\quad\text{ou}\quad a \ge 3 + 2\sqrt{2}.
Note que 3-2\sqrt{2}\approx 0{,}1716. A faixa obtida no Passo 6 é a\in[-\tfrac{2}{3},0), que está inteiramente à esquerda de 3-2\sqrt{2}, portanto satisfaz a condição \Delta\ge0. A interseção é simplesmente
a\in\left[-\tfrac{2}{3},0\right).
Lembrando a restrição inicial a\neq0, já excluímos 0.

Resposta

\displaystyle a\in\left[-\tfrac{2}{3},0\right)

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