- UFMG
Seja
uma função real com duas raízes reais e distintas.
Sabendo-se que
, é correto afirmar que:
a) se a
, então as raízes são maiores que 1 .
b) se a
, então
está entre as raízes de
.
c) se a
, então
está entre as raízes de
.
d) se a
, então as raízes são menores que 1 .
Sabendo-se que
a) se a
b) se a
c) se a
d) se a
Passo 1
O enunciado dá:
com duas raízes reais e distintas. Além disso foi informado que
.
As afirmações a analisar são:
a) se
, então as raízes são maiores que
.
b) se , então
está entre as raízes de
.
c) se , então
está entre as raízes de
.
d) se , então as raízes são menores que
.
b) se
c) se
d) se
O objetivo é decidir quais (apenas uma) dessas afirmações é correta, usando somente as informações dadas.
Passo 2
Primeiro passo teórico importante: quando uma parábola tem duas raízes reais e distintas, podemos escrever a função em termos das raízes. Se as raízes são
e
(com
), então
Aqui
é o mesmo coeficiente quadrático dado, e
é o produto que zera em
e
. Essa fatoração é uma ferramenta muito útil para entender o sinal de
em qualquer ponto: o sinal de
é o produto do sinal de
pelo sinal do produto
.
Passo 3
Avalie
no ponto
usando a forma fatorada. Substituindo
obtemos:
Como o enunciado diz que
, temos a desigualdade
Isso é a fórmula-chave: o sinal de
depende do sinal de
e do sinal do produto
.
Passo 4
Agora raciocinamos separando os casos
e
, usando a inequação da etapa anterior.
Se
, então podemos dividir a desigualdade por
sem alterar o sinal, obtendo
Quando o produto de dois números é positivo, esses dois números têm o mesmo sinal. Portanto ou
(i)
e
simultaneamente, o que significa
e
(ambas as raízes menores que
), ou
(ii)
e
simultaneamente, o que significa
e
(ambas as raízes maiores que
).
Conclusão para
: as duas raízes estão dos mesmos lados de
— isto é, ou ambas são menores que
ou ambas são maiores que
. Não se pode afirmar sempre que são maiores nem sempre que são menores: ambos os comportamentos são possíveis.
Passo 5
Interprete as alternativas relativas a
:
A alternativa (a) afirma que se
então as raízes são maiores que
. Pelas contas do passo anterior, isso pode ocorrer, mas não é obrigatório (pode também acontecer que ambas sejam menores que
). Logo (a) é falsa (não é verdade em todo caso).
A alternativa (d) afirma que se
então as raízes são menores que
. Pelo mesmo motivo, também pode acontecer, mas não é obrigatório. Logo (d) é falsa.
A alternativa (b) afirma que se
então
está entre as raízes. Para
estar entre as raízes é necessário que as raízes fiquem em lados opostos de
, isto é, que
. Mas no caso
deduzimos
. Portanto (b) é falsa.
Passo 6
Agora examine o caso
. Partindo de
e sabendo que
, ao dividir por
(número negativo) a desigualdade troca de sinal:
Quando o produto de dois números é negativo, esses números têm sinais opostos. Assim um dos termos
é positivo e o outro é negativo. Isso significa que uma raiz é menor que
e a outra é maior que
. Em palavras:
fica entre as duas raízes.
Portanto a alternativa (c) é verdadeira: se
, então
está entre as raízes.
Passo 7
Para reforçar a intuição com exemplos concretos (úteis para lembrar na prova):
Exemplo com
e raízes maiores que
: escolha
,
e
. Então
e
Aqui
e ambas as raízes são maiores que
.
Exemplo com
e raízes menores que
: escolha
,
e
. Então
Aqui
e ambas as raízes são menores que
.
Exemplo com
e
entre as raízes: escolha
,
e
. Então
e
está entre
e
.
Esses exemplos confirmam as conclusões teóricas: apenas (c) é sempre verdadeira dado
.
Resposta
(c)