1. UFMG
Seja f(x)=a x^{2}+b x+c uma função real com duas raízes reais e distintas.
Sabendo-se que f(1)>0, é correto afirmar que:
a) se a >0, então as raízes são maiores que 1 .
b) se a >0, então x=1 está entre as raízes de f(x).
c) se a <0, então x=1 está entre as raízes de f(x).
d) se a >0, então as raízes são menores que 1 .

Passo 1

O enunciado dá:
f(x)=a x^{2}+b x+c
com duas raízes reais e distintas. Além disso foi informado que f(1)>0.
As afirmações a analisar são:
a) se a>0, então as raízes são maiores que 1.
b) se a>0, então x=1 está entre as raízes de f(x).
c) se a<0, então x=1 está entre as raízes de f(x).
d) se a>0, então as raízes são menores que 1.
O objetivo é decidir quais (apenas uma) dessas afirmações é correta, usando somente as informações dadas.

Passo 2

Primeiro passo teórico importante: quando uma parábola tem duas raízes reais e distintas, podemos escrever a função em termos das raízes. Se as raízes são \,r_1 e \,r_2 (com r_1\neq r_2), então
f(x)=a(x-r_1)(x-r_2).
Aqui a é o mesmo coeficiente quadrático dado, e (x-r_1)(x-r_2) é o produto que zera em x=r_1 e x=r_2. Essa fatoração é uma ferramenta muito útil para entender o sinal de f em qualquer ponto: o sinal de f(x) é o produto do sinal de a pelo sinal do produto (x-r_1)(x-r_2).

Passo 3

Avalie f no ponto x=1 usando a forma fatorada. Substituindo x=1 obtemos:
f(1)=a(1-r_1)(1-r_2).
Como o enunciado diz que f(1)>0, temos a desigualdade
a(1-r_1)(1-r_2)>0.
Isso é a fórmula-chave: o sinal de f(1) depende do sinal de a e do sinal do produto (1-r_1)(1-r_2).

Passo 4

Agora raciocinamos separando os casos a>0 e a<0, usando a inequação da etapa anterior.
Se a>0, então podemos dividir a desigualdade por a sem alterar o sinal, obtendo
(1-r_1)(1-r_2)>0.
Quando o produto de dois números é positivo, esses dois números têm o mesmo sinal. Portanto ou
(i) (1-r_1)>0 e (1-r_2)>0 simultaneamente, o que significa r_1<1 e r_2<1 (ambas as raízes menores que 1), ou
(ii) (1-r_1)<0 e (1-r_2)<0 simultaneamente, o que significa r_1>1 e r_2>1 (ambas as raízes maiores que 1).
Conclusão para a>0: as duas raízes estão dos mesmos lados de 1 — isto é, ou ambas são menores que 1 ou ambas são maiores que 1. Não se pode afirmar sempre que são maiores nem sempre que são menores: ambos os comportamentos são possíveis.

Passo 5

Interprete as alternativas relativas a a>0:
A alternativa (a) afirma que se a>0 então as raízes são maiores que 1. Pelas contas do passo anterior, isso pode ocorrer, mas não é obrigatório (pode também acontecer que ambas sejam menores que 1). Logo (a) é falsa (não é verdade em todo caso).
A alternativa (d) afirma que se a>0 então as raízes são menores que 1. Pelo mesmo motivo, também pode acontecer, mas não é obrigatório. Logo (d) é falsa.
A alternativa (b) afirma que se a>0 então x=1 está entre as raízes. Para x=1 estar entre as raízes é necessário que as raízes fiquem em lados opostos de 1, isto é, que (1-r_1)(1-r_2)<0. Mas no caso a>0 deduzimos (1-r_1)(1-r_2)>0. Portanto (b) é falsa.

Passo 6

Agora examine o caso a<0. Partindo de
a(1-r_1)(1-r_2)>0
e sabendo que a<0, ao dividir por a (número negativo) a desigualdade troca de sinal:
(1-r_1)(1-r_2)<0.
Quando o produto de dois números é negativo, esses números têm sinais opostos. Assim um dos termos (1-r_i) é positivo e o outro é negativo. Isso significa que uma raiz é menor que 1 e a outra é maior que 1. Em palavras: x=1 fica entre as duas raízes.
Portanto a alternativa (c) é verdadeira: se a<0, então x=1 está entre as raízes.

Passo 7

Para reforçar a intuição com exemplos concretos (úteis para lembrar na prova):
Exemplo com a>0 e raízes maiores que 1: escolha r_1=2, r_2=3 e a=1. Então
f(x)=(x-2)(x-3)
e
f(1)=(1-2)(1-3)=(-1)(-2)=2>0.
Aqui a>0 e ambas as raízes são maiores que 1.
Exemplo com a>0 e raízes menores que 1: escolha r_1=0, r_2=\tfrac{1}{2} e a=1. Então
f(1)=(1-0)(1-\tfrac{1}{2})=1\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}>0.
Aqui a>0 e ambas as raízes são menores que 1.
Exemplo com a<0 e 1 entre as raízes: escolha r_1=0, r_2=2 e a=-1. Então
f(1)=-1\cdot(1-0)(1-2)=-1\cdot 1\cdot(-1)=1>0,
e 1 está entre 0 e 2.
Esses exemplos confirmam as conclusões teóricas: apenas (c) é sempre verdadeira dado f(1)>0.

Resposta

(c)

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