1. Considerar a palavra DILEMA e determinar:
    a) o número total de anagramas
    b) o número de anagramas que começam com a letra D
    c) número de anagramas que começam com a letra D e terminam com a letra A
    d) o número de anagramas que começam com vogal.
    e) O número de anagramas que começam com vogal e terminam com a letra E.

Passo 1

Enunciado resumido e dados importantes (o que a questão pede e o que nos foi dado):
  • A palavra dada é “DILEMA”.
  • Letras da palavra: D,\;I,\;L,\;E,\;M,\;A. Observação: todas as letras são diferentes (não há repetições).
  • Vogais presentes: I,\;E,\;A (três vogais).
  • Perguntas a responder:
    a) número total de anagramas da palavra;
    b) número de anagramas que começam com a letra D;
    c) número de anagramas que começam com D e terminam com A;
    d) número de anagramas que começam com vogal;
    e) número de anagramas que começam com vogal e terminam com a letra E.

Passo 2

Conceito necessário — permutações de objetos distintos (aula curta e prática):
  • Se você tem n objetos distintos e quer ordená-los em todas as ordens possíveis, o número de ordenações (anagramas, permutações) é dado por
n!
onde o símbolo “!” (fatorial) significa multiplicar todos os inteiros positivos de 1 até n. Ou seja,
n! = n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1.
Exemplo simples para fixar: para n=3 (letras A,B,C), o total é 3! = 3\cdot 2\cdot 1 = 6 anagramas: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Isso mostra a ideia: cada posição escolhe uma das letras restantes.

Passo 3

Resolvendo a letra (a) — número total de anagramas:
  • Aqui temos 6 letras distintas, então o total de anagramas é
6!.
Vamos calcular o fatorial:
6! = 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 720.
Portanto a resposta da alínea (a) é 720.

Passo 4

Observação útil (estratégia que usaremos nas próximas partes):
  • Quando fixamos uma letra em certa posição, reduzimos o problema para permutar as letras restantes. Se de n letras fixamos k posições, o número de arranjos das posições restantes é (n-k)!. Vou usar isso em (b) e (c).

Passo 5

Resolvendo a letra (b) — anagramas que começam com D:
  • Fixamos D na primeira posição. Restam 5 letras para permutar nas 5 posições restantes, logo o número é
5!.
Calculando:
5! = 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 120.
Portanto (b) é 120.

Passo 6

Resolvendo a letra (c) — anagramas que começam com D e terminam com A:
  • Fixamos duas posições: primeira letra D e última letra A. Restam 6-2=4 letras para permutar nas 4 posições do meio. Assim o número é
4!.
Calculando:
4! = 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 24.
Portanto (c) é 24.

Passo 7

Resolvendo a letra (d) — anagramas que começam com vogal:
  • Temos 3 vogais distintas disponíveis na palavra: I,\;E,\;A. Para que o anagrama comece com uma vogal, escolhemos qual vogal vai para a primeira posição (3 opções) e permutamos as 5 letras restantes nas posições restantes. Para cada escolha de vogal, há 5! arranjos dos demais. Logo o total é
3\cdot 5!.
Já sabemos que 5! = 120, então
3\cdot 120 = 360.
Portanto (d) é 360.

Passo 8

Resolvendo a letra (e) — anagramas que começam com vogal e terminam com E:
  • Atenção: a letra E aparece apenas uma vez, então se o anagrama termina com E não podemos usar E também no início. Logo, para que comece com vogal e termine com E, a vogal do começo não pode ser E; só podem ser I ou A. Assim temos 2 escolhas para a primeira posição ( I ou A), a última posição já está fixa como E, e restam 4 letras para permutar nas 4 posições do meio. O número total é
2\cdot 4!.
Calculando:
4! = 24 \quad\text{portanto}\quad 2\cdot 24 = 48.
Portanto (e) é 48.

Resposta

a) 720
b) 120
c) 24
d) 360
e) 48

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