- Considerar a palavra DILEMA e determinar:
a) o número total de anagramas
b) o número de anagramas que começam com a letra D
c) número de anagramas que começam com a letra D e terminam com a letra A
d) o número de anagramas que começam com vogal.
e) O número de anagramas que começam com vogal e terminam com a letra E.
a) o número total de anagramas
b) o número de anagramas que começam com a letra D
c) número de anagramas que começam com a letra D e terminam com a letra A
d) o número de anagramas que começam com vogal.
e) O número de anagramas que começam com vogal e terminam com a letra E.
Passo 1
Enunciado resumido e dados importantes (o que a questão pede e o que nos foi dado):
- A palavra dada é “DILEMA”.
- Letras da palavra:
. Observação: todas as letras são diferentes (não há repetições). - Vogais presentes:
(três vogais). - Perguntas a responder:
a) número total de anagramas da palavra;
b) número de anagramas que começam com a letra;
c) número de anagramas que começam come terminam com ;
d) número de anagramas que começam com vogal;
e) número de anagramas que começam com vogal e terminam com a letra.
Passo 2
Conceito necessário — permutações de objetos distintos (aula curta e prática):
- Se você tem
objetos distintos e quer ordená-los em todas as ordens possíveis, o número de ordenações (anagramas, permutações) é dado por
onde o símbolo “!” (fatorial) significa multiplicar todos os inteiros positivos de
até
. Ou seja,
Exemplo simples para fixar: para
(letras
), o total é
anagramas:
. Isso mostra a ideia: cada posição escolhe uma das letras restantes.
Passo 3
Resolvendo a letra (a) — número total de anagramas:
- Aqui temos
letras distintas, então o total de anagramas é
Vamos calcular o fatorial:
Portanto a resposta da alínea (a) é
.
Passo 4
Observação útil (estratégia que usaremos nas próximas partes):
- Quando fixamos uma letra em certa posição, reduzimos o problema para permutar as letras restantes. Se de
letras fixamos posições, o número de arranjos das posições restantes é . Vou usar isso em (b) e (c).
Passo 5
Resolvendo a letra (b) — anagramas que começam com
:
- Fixamos
na primeira posição. Restam letras para permutar nas posições restantes, logo o número é
Calculando:
Portanto (b) é
.
Passo 6
Resolvendo a letra (c) — anagramas que começam com
e terminam com
:
- Fixamos duas posições: primeira letra
e última letra . Restam letras para permutar nas posições do meio. Assim o número é
Calculando:
Portanto (c) é
.
Passo 7
Resolvendo a letra (d) — anagramas que começam com vogal:
- Temos
vogais distintas disponíveis na palavra: . Para que o anagrama comece com uma vogal, escolhemos qual vogal vai para a primeira posição (3 opções) e permutamos as letras restantes nas posições restantes. Para cada escolha de vogal, há arranjos dos demais. Logo o total é
Já sabemos que
, então
Portanto (d) é
.
Passo 8
Resolvendo a letra (e) — anagramas que começam com vogal e terminam com
:
- Atenção: a letra
aparece apenas uma vez, então se o anagrama termina com não podemos usar também no início. Logo, para que comece com vogal e termine com , a vogal do começo não pode ser ; só podem ser ou . Assim temos escolhas para a primeira posição ( ou ), a última posição já está fixa como , e restam letras para permutar nas posições do meio. O número total é
Calculando:
Portanto (e) é
.
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
b)
c)
d)
e)