(Fuvest-SP) O organismo humano pode ser submetido, sem conseqüências danosas, a pressão de, no máximo, 4,0 cdot 10^5 N / m^2 e a uma taxa de variação de pressão de, no máximo, 1,0 cdot 10^4 N / m^2 por segundo. Nestas condições:
Qual a máxima velocidade de movimentação na vertical recomendada para um mergulhador?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a pressão máxima que o corpo humano pode suportar sem danos, que é 4,0 times 10^5 , N/m^2, e sobre a taxa máxima de variação dessa pressão, que é 1,0 times 10^4 , N/m^2 por segundo. A gente precisa descobrir qual é a velocidade máxima que um mergulhador pode se mover verticalmente para não exceder esses limites de pressão e de variação de pressão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física relacionados à pressão e à variação de pressão em fluidos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a pressão varia com a profundidade na água. A pressão total que uma pessoa sente quando está submersa é a soma da pressão atmosférica e da pressão exercida pela coluna de água acima dela. A fórmula para calcular a pressão em uma profundidade $ h $ é:
h
Onde:
  • $ P $ é a pressão total,
  • $ P_0 $ é a pressão atmosférica (aproximadamente P = P0 + rho cdot g cdot h ),
  • $ \rho $ é a densidade da água (aproximadamente P ),
  • $ g $ é a aceleração da gravidade ( P0 ),
  • $ h $ é a profundidade.

Passo 3

Agora, como o mergulhador está se movendo verticalmente, a velocidade com que ele desce ou sobe afetará a taxa de variação da pressão que ele sente. A taxa de variação da pressão ($ \frac{dP}{dt} dPdt à v $) pela derivada da pressão em relação ao tempo:
v
Aqui, $ \frac{dh}{dt} $ é a velocidade vertical $ v $.

Passo 4

Sabemos que a taxa máxima de variação da pressão permitida é 1,0 times 10^4 , N/m^2 por segundo. Vamos usar essa informação para encontrar a velocidade máxima $ v $:
v

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação para encontrar $ v $:
v
v = 1,0 times 10^4 , N/m^21000 , kg/m^3 cdot 9,8 , m/s^2 = 1,0 times 10^49,8 times 10^3 , m/s

Resposta

A velocidade máxima de movimentação na vertical recomendada para um mergulhador é de aproximadamente 1,02 , m/s.

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