(Fuvest-SP) Um polinômio de grau 3 possui três raízes reais que, colocadas em ordem crescente, formam uma progressão aritmética em que a soma dos termos é igual a 95. A diferença entre o quadrado da maior raiz e o quadrado da menor raiz é 245.
Sabendo-se que o coeficiente do termo de maior grau do polinômio é 5, determine:
a) a progressão aritmética.
b) o coeficiente do termo de grau 1 desse polinômio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um polinômio de grau 3 com três raízes reais que formam uma progressão aritmética (PA) quando colocadas em ordem crescente. A soma dessas raízes é 95, e a diferença entre o quadrado da maior raiz e o quadrado da menor raiz é 245. Além disso, sabemos que o coeficiente do termo de maior grau é 5. Nosso objetivo é encontrar:
a) A própria progressão aritmética das raízes.
b) O coeficiente do termo de grau 1 desse polinômio.
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma progressão aritmética (PA). Em uma PA, cada termo após o primeiro é obtido adicionando-se uma constante chamada de “razão” àquele que o antecede.
Como temos três raízes em PA, podemos representá-las como:
a - d, a, a + d
onde:
  • $ a $ é o termo do meio,
  • $ d $ é a razão da PA.

Passo 3

Sabemos que a soma das raízes é igual a 95. Então:
(a - d) + a + (a + d) = 95
Simplificando:
3a = 95
Agora, vamos resolver para $ a $:
a

Passo 4

Agora, vamos usar a informação sobre a diferença entre os quadrados da maior e da menor raiz, que é 245:
(a + d)^2 - (a - d)^2 = 245
Expandindo os termos:
(a^2 + 2ad + d^2) - (a^2 - 2ad + d^2) = 245
Simplificando:
4ad = 245
Agora, substituímos $ a = \frac{3}{5} $ na equação:
a = 35
4 times 35 times d = 245
Resolvendo para $ d $:
125d = 245

Passo 5

Com $ a = \frac{3}{5} $ e $ d = 2 $, podemos encontrar as raízes:
  • Menor raiz: $ a - d = \frac{3}{5} - 2 = \frac{3}{5} - \frac{10}{5} = -\frac{7}{5} $
  • Termo do meio: $ a = \frac{3}{5} $
  • Maior raiz: $ a + d = \frac{3}{5} + 2 = \frac{3}{5} + \frac{10}{5} = \frac{13}{5} $

Passo 6

Agora, para encontrar o coeficiente do termo de grau 1 do polinômio, vamos usar a propriedade das somas e produtos das raízes.
Para um polinômio de grau 3 na forma:
P(x) = kx^3 + bx^2 + cx + d
onde $ k $ é o coeficiente do termo de maior grau.
Sabemos que:
  • A soma das raízes $ r_1 + r_2 + r_3 = -\frac{b}{k} $
  • A soma dos produtos das raízes dois a dois $ r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3 = \frac{c}{k} $
Nosso objetivo é encontrar $ c $.
Primeiro, calculamos a soma dos produtos das raízes:
k
Calculando cada termo:
r1 + r2 + r3 = -bk

Passo 7

Agora, usando a relação $ \frac{c}{k} = -\frac{73}{25} $, e sabendo que $ k = 5 $:
ck = -7325
Multiplicando ambos os lados por 5:
k = 5

Resposta

a) A progressão aritmética das raízes é -75, 35, 135.
b) O coeficiente do termo de grau 1 do polinômio é -735.

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