(Fuvest-SP) Um polinômio de grau 3 possui três raízes reais que, colocadas em ordem crescente, formam uma progressão aritmética em que a soma dos termos é igual a
. A diferença entre o quadrado da maior raiz e o quadrado da menor raiz é
.
Sabendo-se que o coeficiente do termo de maior grau do polinômio é 5, determine:
a) a progressão aritmética.
b) o coeficiente do termo de grau 1 desse polinômio.
Sabendo-se que o coeficiente do termo de maior grau do polinômio é 5, determine:
a) a progressão aritmética.
b) o coeficiente do termo de grau 1 desse polinômio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um polinômio de grau 3 com três raízes reais que formam uma progressão aritmética (PA) quando colocadas em ordem crescente. A soma dessas raízes é
, e a diferença entre o quadrado da maior raiz e o quadrado da menor raiz é
. Além disso, sabemos que o coeficiente do termo de maior grau é 5. Nosso objetivo é encontrar:
a) A própria progressão aritmética das raízes.
b) O coeficiente do termo de grau 1 desse polinômio.
Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma progressão aritmética (PA). Em uma PA, cada termo após o primeiro é obtido adicionando-se uma constante chamada de “razão” àquele que o antecede.
Como temos três raízes em PA, podemos representá-las como:
onde:
- $ a $ é o termo do meio,
- $ d $ é a razão da PA.
Passo 3
Sabemos que a soma das raízes é igual a
. Então:
Simplificando:
Agora, vamos resolver para $ a $:
Passo 4
Agora, vamos usar a informação sobre a diferença entre os quadrados da maior e da menor raiz, que é
:
Expandindo os termos:
Simplificando:
Agora, substituímos $ a = \frac{3}{5} $ na equação:
Resolvendo para $ d $:
Passo 5
Com $ a = \frac{3}{5} $ e $ d = 2 $, podemos encontrar as raízes:
- Menor raiz: $ a - d = \frac{3}{5} - 2 = \frac{3}{5} - \frac{10}{5} = -\frac{7}{5} $
- Termo do meio: $ a = \frac{3}{5} $
- Maior raiz: $ a + d = \frac{3}{5} + 2 = \frac{3}{5} + \frac{10}{5} = \frac{13}{5} $
Passo 6
Agora, para encontrar o coeficiente do termo de grau 1 do polinômio, vamos usar a propriedade das somas e produtos das raízes.
Para um polinômio de grau 3 na forma:
onde $ k $ é o coeficiente do termo de maior grau.
Sabemos que:
- A soma das raízes $ r_1 + r_2 + r_3 = -\frac{b}{k} $
- A soma dos produtos das raízes dois a dois $ r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3 = \frac{c}{k} $
Nosso objetivo é encontrar $ c $.
Primeiro, calculamos a soma dos produtos das raízes:
Calculando cada termo:
Passo 7
Agora, usando a relação $ \frac{c}{k} = -\frac{73}{25} $, e sabendo que $ k = 5 $:
Multiplicando ambos os lados por 5:
Resposta
a) A progressão aritmética das raízes é
,
,
.
b) O coeficiente do termo de grau 1 do polinômio é
.