(UF-CE) Os números
e
são reais. Determine os coeficientes de
, sabendose que o polinômio
divide
e que
.
Passo 1
O enunciado pede para achar os coeficientes do polinômio P(x)=a x^3 + b x^2 + c x + d, sabendo que Q(x)=a x^2 + b x + 1 é divisor de P(x) e que P(a)=Q(a)=a≠0. Vamos usar divisão de polinômios (teorema do resto e fatoração) e condições de valor na abscissa x=a para montar um sistema.
Passo 2
Como Q(x) divide P(x), existe k real tal que P(x)=Q(x)·(x+k). Expandindo: (a x^2 + b x +1)(x+k)=a x^3 + (a k + b)x^2 + (b k +1)x + k. Comparando com P(x)=a x^3 + b x^2 + c x + d, vemos: a k + b = b ⇒ a k = 0 ⇒ como a≠0, k=0. Então c = b·0 +1 = 1 e d = k = 0.
Passo 3
Agora P(x) reduz para P(x)=a x^3 + b x^2 + x. Usando P(a)=a temos a·a^3 + b·a^2 + a = a ⇒ a^4 + b a^2 + a − a = 0 ⇒ a2(a2 + b)=0. Como a≠0, segue b = −a^2.
Passo 4
Ainda temos Q(a)=a, ou seja a·a^2 + b·a +1 = a ⇒ a^3 + b a +1 − a = 0. Dividindo ambos os lados por a (≠0) dá a^2 + b + 1/a −1 = 0. Substituindo b=−a^2 resulta 1/a −1 = 0 ⇒ 1/a =1 ⇒ a =1.
Passo 5
Com a=1 e b=−a^2 obtemos b=−1. Já tínhamos c=1 e d=0. Portanto os coeficientes são a=1, b=−1, c=1 e d=0.
Resposta
a = 1, b = -1, c = 1, d = 0