(U.E. Ponta Grossa-PR) Na divisão do polinômio P(x) pelo binômio A(x), do 1^circ grau, usando o dispositivo de Briot-Ruffini, obteve-se o seguinte:
l|l|l|l|l|l m & 1 & a & a & -a & -6 hline & & & & 3 & 0
Então, assinale o que for correto.
  1. P(x) é um polinômio do 4^circ grau.
  2. P(x) é divisível por x-2.
  3. P(0)=-6.
  4. P(1)=-6.
  5. O quociente da divisão é o polinômio
Q(x)=x^3+x^2+x+3

Passo 1

A questão apresenta a divisão do polinômio P(x) por um binômio de 1º grau A(x)=x-m usando Briot-Ruffini. Recebemos a tabela sintética com coeficientes 1, a, a, -a, -6 e resultados parciais (penúltimo resultado igual a 3 e resto zero). Vamos usar as fórmulas da divisão sintética para determinar m, a, verificar o grau de P, seus valores em 0 e 1, e o quociente da divisão.

Passo 2

Da linha do resto temos:
mcdot 3 +(-6)=0
o que dá
m=2.

Passo 3

Na divisão sintética definimos
d0=1;
d1=mcdot d0 + a = 2 + a;
d2=mcdot d1 + a = 2(2 + a) + a = 4 + 3a;
d3=mcdot d2 +(-a) = 2(4 + 3a) - a = 8 + 5a.
Como na tabela esse valor é 3, resolvemos
8 + 5a = 3
obtendo
a = -1.

Passo 4

Substituindo a=-1, obtemos
P(x)=x^4 - x^3 - x^2 + x -6.
Há cinco coeficientes, logo P é de grau 4, confirmando a afirmativa 1.
Como o resto para m=2 é zero, x-2 divide P(x), confirmando a 2.

Passo 5

O valor P(0) é o termo independente, isto é -6, confirmando a afirmativa 3.
Para P(1) somamos os coeficientes:
1 - 1 - 1 + 1 - 6 = -6,
confirmando a afirmativa 4.

Passo 6

Os coeficientes do quociente são os resultados sintéticos antes do resto: 1,1,1,3. Logo
Q(x)=x^3 + x^2 + x + 3,
confirmando a afirmativa 5.

Resposta

As afirmações 1, 2, 3, 4 e 5 são corretas.

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