(FUVEST) A reta de equação \mathbf{2 x} \boldsymbol{+} \mathbf{1 2 y} \boldsymbol{-} \mathbf{3} \boldsymbol{=} \mathbf{0}, em relação a um sistema cartesiano ortogonal, forma com os eixos do sistema um triângulo cuja área é:
a) 1 / 3
b) 1 / 4
c) 1 / 15
d) 3 / 8
e) 3 / 16

Passo 1

O enunciado dá a equação da reta \,2x+12y-3=0\, e pede a área do triângulo que essa reta forma com os eixos do sistema cartesiano ortogonal.
Informações relevantes fornecidas:
  • Equação da reta: \,2x+12y-3=0\,.
  • A interseção dessa reta com os eixos x e y determina os vértices do triângulo juntamente com a origem (0,0).
    O que se quer: a área do triângulo formado pelos pontos de interseção da reta com os eixos e a origem.

Passo 2

Como achar as interseções com os eixos (isso é padrão e funciona em qualquer reta):
  • Interseção com o eixo x: toma-se y=0 na equação da reta e resolve-se para x.
    Substituindo y=0 em \,2x+12y-3=0\, obtém-se \,2x-3=0\,.
    Resolvendo,
    2x-3=0 \quad\Rightarrow\quad 2x=3 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{3}{2}.
    Logo o ponto de interseção com o eixo x é \left(\frac{3}{2},0\right).
  • Interseção com o eixo y: toma-se x=0 na equação da reta e resolve-se para y.
    Substituindo x=0 em \,2x+12y-3=0\, obtém-se \,12y-3=0\,.
    Resolvendo,
    12y-3=0 \quad\Rightarrow\quad 12y=3 \quad\Rightarrow\quad y=\frac{1}{4}.
    Logo o ponto de interseção com o eixo y é \left(0,\frac{1}{4}\right).
Observação rápida: usar x=0 ou y=0 para encontrar interceptos é uma técnica direta que sempre funciona.

Passo 3

Agora a área do triângulo formado pelos pontos (0,0), \left(\frac{3}{2},0\right) e \left(0,\frac{1}{4}\right) é a metade da área do retângulo com lados de comprimentos iguais às ordenadas dos interceptos. Em fórmula:
\text{Área}=\frac{1}{2}\times(\text{intercepto em }x)\times(\text{intercepto em }y).Á
Substituindo os valores que achamos:
\text{Área}=\frac{1}{2}\times\frac{3}{2}\times\frac{1}{4}.Á
Fazendo as multiplicações passo a passo:
\frac{1}{2}\times\frac{3}{2}=\frac{3}{4}, \qquad \frac{3}{4}\times\frac{1}{4}=\frac{3}{16}.
Portanto a área do triângulo é \frac{3}{16}.

Passo 4

Resumo rápido e confraternização: a técnica foi achar interceptos definindo as variáveis a zero e aplicar a fórmula da área de triângulo retângulo com catetos iguais aos interceptos. Está tudo certo — resultado simples de frações. Vai firme na prova, você consegue!

Resposta

e) \frac{3}{16}

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