(UNIFOR) Seja \mathbf{f} a função real definida por f(x)=1-\frac{x}{2}, para todo \underline{x} do intervalo [-3,1]. Seu conjunto imagem é:
a) R
b) [-1 / 2,1]
c) [-1 / 2,1 / 2]
d) [-1 / 2 ; 5 / 2]
e) [1/2 ; 5/2]

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por f(x)=1-\dfrac{x}{2} para todo x no intervalo [-3,1]. A pergunta é: qual é o conjunto imagem de f (ou seja, o conjunto de todos os valores que f(x) assume quando x varia em [-3,1])? As alternativas possíveis são as listadas (a) a (e).

Passo 2

Entendendo a função: f é uma função afim (reta) com coeficiente angular -\dfrac{1}{2}. Vou explicar o que isso significa de forma bem direta:
  • O coeficiente angular é o número que multiplica x na expressão da forma ax+b; aqui a=-\dfrac{1}{2}.
  • Como a=-\dfrac{1}{2}<0, a função é estritamente decrescente: isto é, se x_1<x_2 então f(x_1)>f(x_2).
    Conclusão prática: em um intervalo fechado [-3,1] uma função decrescente atinge o máximo no extremo esquerdo ( x=-3) e o mínimo no extremo direito ( x=1). Então basta calcular f(-3) e f(1).

Passo 3

Calcular f nos extremos (faço as contas passo a passo):
f(-3)=1-\frac{-3}{2}=1+\frac{3}{2}=\frac{2}{2}+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}.
f(1)=1-\frac{1}{2}=\frac{2}{2}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.
Como a função é decrescente, o valor maior é f(-3)=\dfrac{5}{2} e o valor menor é f(1)=\dfrac{1}{2}.

Passo 4

Como f é contínua (é uma reta) e os extremos da imagem são \dfrac{1}{2} e \dfrac{5}{2}, o conjunto imagem é o intervalo fechado que vai do menor ao maior valor:
\mathrm{Im}(f) = \left[\frac{1}{2},\,\frac{5}{2}\right].
Comparando com as alternativas fornecidas, isso corresponde à alternativa (e).

Resposta

e) [1/2;5/2]

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