(PUCCAMP) Seja \mathbf{f} a função de R em R , definida por \mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{a x}+\mathbf{b}, com \underline{\mathbf{a}} \in \mathrm{R}, \underline{\mathbf{b}} \in \mathrm{R} e \underline{\mathbf{a}} \neq 0. Se os pontos (-1,3) e (2,-1) pertencem ao gráfico de \mathbf{f}, então f(x) \geq 0 se, e somente se:
a) x \leq 0
b) x \leq 5 / 4
c) x \geq 0
d) x \geq 5 / 4
e) x \geq 5

Passo 1

Vou deixar muito claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • A função é f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por f(x)=ax+b, com a,b\in\mathbb{R} e a\neq 0.
  • O gráfico de f contém os pontos (-1,3) e (2,-1). (Peguei esses pontos do enunciado.)
  • O que o enunciado pede: determinar para quais x vale f(x)\geq 0 e escolher a alternativa correta entre:
    a) x\leq 0
    b) x\leq 5/4
    c) x\geq 0
    d) x\geq 5/4
    e) x\geq 5

Passo 2

Primeiro precisamos encontrar os parâmetros a (coeficiente angular, a inclinação) e b (coeficiente linear, intercepto). Quando uma reta tem equação f(x)=ax+b e passa por dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2), o coeficiente angular a é dado pela razão das diferenças de y por diferenças de x:
a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Aqui usamos (x_1,y_1)=(-1,3) e (x_2,y_2)=(2,-1). Substituindo:
a=\frac{-1-3}{2-(-1)}=\frac{-4}{3}=-\tfrac{4}{3}.
Explicando: a mede quanto y varia quando x aumenta de uma unidade; o sinal negativo indica que a reta é decrescente.

Passo 3

Com a encontrado, obtemos b usando que o ponto (-1,3) pertence à reta, ou seja 3=a\cdot(-1)+b. Substituindo a=-\tfrac{4}{3}:
3 = -\tfrac{4}{3}\cdot(-1) + b = \tfrac{4}{3} + b.
Isolando b:
b = 3 - \tfrac{4}{3} = \tfrac{9}{3} - \tfrac{4}{3} = \tfrac{5}{3}.

Passo 4

Agora escrevo a função explicitamente com os valores encontrados:
f(x)= -\tfrac{4}{3}\,x + \tfrac{5}{3}.
Posso também colocar em forma de fração única:
f(x)=\frac{-4x+5}{3}.

Passo 5

Para resolver f(x)\geq 0 é útil achar a raiz (o zero) da função, que é o ponto onde muda de sinal. Primeiro resolvo f(x)=0:
\frac{-4x+5}{3}=0.
Multiplico ambos os lados por 3 (positivo, então a desigualdade/sinal não muda quando fizer depois):
-4x+5=0.
Isolando x:
-4x=-5 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{-5}{-4}=\frac{5}{4}.
Portanto a raiz é x=\tfrac{5}{4}.

Passo 6

Agora faço a análise de sinal. A função é linear com coeficiente angular a=-\tfrac{4}{3}<0, ou seja, é decrescente. Para uma reta decrescente que corta o eixo x em x=\tfrac{5}{4}:
  • para x<\tfrac{5}{4} a reta está acima do eixo x (valores positivos),
  • para x>\tfrac{5}{4} a reta está abaixo do eixo x (valores negativos).
    Também posso conferir com exemplos numéricos rápidos: f(0)=\tfrac{5}{3}>0 e f(2)= -1<0, o que confirma o comportamento. Assim:
f(x)\geq 0 \iff x\leq \tfrac{5}{4}.
Observação técnica: ao resolver a desigualdade algébrica \frac{-4x+5}{3}\geq 0 pode-se multiplicar por 3>0 e obter -4x+5\geq 0, e ao dividir por -4 (número negativo) a desigualdade inverte: x\leq \tfrac{5}{4}.

Resposta

b) \,x \leq \tfrac{5}{4}

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