Considere um tetraedro, como um dado, com 4 faces numeradas de 1 a 4. Dois tetraedros
e
são lançados sobre um plano e observam-se os números das faces nas quais se apolam os tetraedros. Se a soma dos pontos obtidos for maior que 5 , qual a probabilidade de que o número observado em
seja:
a) 4 ?
b) 3?
a) 4 ?
b) 3?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas probabilidades condicionais. Informações:
- Dois tetraedros idênticos são lançados; vou chamar o primeiro de
e o segundo de . - Cada tetraedro tem faces numeradas por
. - Observam-se os números obtidos em
e em ; os resultados são pares ordenados com . - Conhecemos a condição: a soma dos pontos obtidos é maior que
. Ou seja, o evento condicional é .
Perguntas pedidas:
a) Qual é a probabilidade de que o número observado em seja
, dado que a soma é maior que
? (i.e.
.)
b) Qual é a probabilidade de que o número observado em seja
, dado que a soma é maior que
? (i.e.
.)
a) Qual é a probabilidade de que o número observado em
b) Qual é a probabilidade de que o número observado em
Passo 2
Vamos modelar o espaço amostral e justificar que todos os resultados são equiprováveis. Cada lançamento dá um par ordenado
com
(valor de
) e
(valor de
) em
. Como os tetraedros são justos e os lançamentos independentes, cada um dos
pares é igualmente provável. Logo o total de resultados possíveis é
Explicação breve: independencia + faces iguais
probabilidade uniforme sobre os pares ordenados.
Passo 3
Lembrete de fórmula (aula rápida): probabilidade condicional. Se
é um evento e
é o evento condicional, então
Se todos os resultados são equiprováveis e há
resultados totais, então para qualquer evento
com
resultados favoráveis temos
. Assim, em problema com resultados equiprováveis,
ou seja, basta contar as ocorrências favoráveis dentro do evento condicional
. Isso simplifica bastante os cálculos na prova — conte resultados!
Passo 4
Vamos identificar explicitamente o evento condicional
. Para isso listamos todos os pares ordenados com soma maior que
. Os possíveis pares (vou escrever todos) são:
Expliquei: testei todas as somas possíveis de
a
e mantive só as que excedem
. Contagem:
Passo 5
Agora tratamos a parte (a). Defina
o evento “
”. Precisamos de
: os pares em
cuja primeira coordenada é
. Da lista do passo anterior esses pares são
Logo
Passo 6
Aplicando a fórmula de contagem para probabilidade condicional:
Simplificando a fração obtemos
(Interpretação rápida: entre os
casos onde a soma é maior que
, em
deles o primeiro dado é
.)
Passo 7
Agora a parte (b). Defina
o evento “
”. Interseção com
: pares em
com primeira coordenada
. Da lista do passo 4 são
Logo
Passo 8
Aplicando a fórmula:
Simplificando:
(Interpretação: entre os
casos com soma maior que
, em
deles o primeiro dado vale
.)
Passo 9
Pequena checagem de sanidade (opcional, mas bom para prova): as probabilidades condicionais de
dadas a soma
devem somar
. Já temos
; restaria
para
e
juntos — faz sentido porque somente muito poucos pares em
têm
igual a
ou
(na verdade só
tem
e nenhum tem
, então é coerente).
Resposta
a)
b)
b)