Considere um tetraedro, como um dado, com 4 faces numeradas de 1 a 4. Dois tetraedros t_{1} e t_{2} são lançados sobre um plano e observam-se os números das faces nas quais se apolam os tetraedros. Se a soma dos pontos obtidos for maior que 5 , qual a probabilidade de que o número observado em t_{1} seja:
a) 4 ?
b) 3?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas probabilidades condicionais. Informações:
  • Dois tetraedros idênticos são lançados; vou chamar o primeiro de t_{1} e o segundo de t_{2}.
  • Cada tetraedro tem faces numeradas por 1,2,3,4.
  • Observam-se os números obtidos em t_{1} e em t_{2}; os resultados são pares ordenados (i,j) com i,j\in\{1,2,3,4\}.
  • Conhecemos a condição: a soma dos pontos obtidos é maior que 5. Ou seja, o evento condicional é \{(i,j)\mid i+j>5\}.
Perguntas pedidas:
a) Qual é a probabilidade de que o número observado em t_{1} seja 4, dado que a soma é maior que 5? (i.e. P(t_{1}=4 \mid i+j>5).)
b) Qual é a probabilidade de que o número observado em t_{1} seja 3, dado que a soma é maior que 5? (i.e. P(t_{1}=3 \mid i+j>5).)

Passo 2

Vamos modelar o espaço amostral e justificar que todos os resultados são equiprováveis. Cada lançamento dá um par ordenado (i,j) com i (valor de t_{1}) e j (valor de t_{2}) em \{1,2,3,4\}. Como os tetraedros são justos e os lançamentos independentes, cada um dos 4\times4 pares é igualmente provável. Logo o total de resultados possíveis é
16.
Explicação breve: independencia + faces iguais \Rightarrow probabilidade uniforme sobre os pares ordenados.

Passo 3

Lembrete de fórmula (aula rápida): probabilidade condicional. Se A é um evento e B é o evento condicional, então
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.
Se todos os resultados são equiprováveis e há N resultados totais, então para qualquer evento E com |E| resultados favoráveis temos P(E)=\dfrac{|E|}{N}. Assim, em problema com resultados equiprováveis,
P(A\mid B)=\frac{|A\cap B|/N}{|B|/N}=\frac{|A\cap B|}{|B|},
ou seja, basta contar as ocorrências favoráveis dentro do evento condicional B. Isso simplifica bastante os cálculos na prova — conte resultados!

Passo 4

Vamos identificar explicitamente o evento condicional B=\{\,(i,j)\mid i+j>5\,\}. Para isso listamos todos os pares ordenados com soma maior que 5. Os possíveis pares (vou escrever todos) são:
(2,4),\\ (3,3),\\ (4,2),\\ (3,4),\\ (4,3),\\ (4,4).
Expliquei: testei todas as somas possíveis de 2 a 8 e mantive só as que excedem 5. Contagem:
|B|=6.

Passo 5

Agora tratamos a parte (a). Defina A_{4}=\{\,(i,j)\mid i=4\,\} o evento “ t_{1}=4”. Precisamos de A_{4}\cap B: os pares em B cuja primeira coordenada é 4. Da lista do passo anterior esses pares são
(4,2),\\ (4,3),\\ (4,4).
Logo
|A_{4}\cap B|=3.

Passo 6

Aplicando a fórmula de contagem para probabilidade condicional:
P(t_{1}=4 \mid i+j>5)=\frac{|A_{4}\cap B|}{|B|}=\frac{3}{6}.
Simplificando a fração obtemos
\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.
(Interpretação rápida: entre os 6 casos onde a soma é maior que 5, em 3 deles o primeiro dado é 4.)

Passo 7

Agora a parte (b). Defina A_{3}=\{\,(i,j)\mid i=3\,\} o evento “ t_{1}=3”. Interseção com B: pares em B com primeira coordenada 3. Da lista do passo 4 são
(3,3),\\ (3,4).
Logo
|A_{3}\cap B|=2.

Passo 8

Aplicando a fórmula:
P(t_{1}=3 \mid i+j>5)=\frac{|A_{3}\cap B|}{|B|}=\frac{2}{6}.
Simplificando:
\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.
(Interpretação: entre os 6 casos com soma maior que 5, em 2 deles o primeiro dado vale 3.)

Passo 9

Pequena checagem de sanidade (opcional, mas bom para prova): as probabilidades condicionais de t_{1}=1,2,3,4 dadas a soma >5 devem somar 1. Já temos \frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}; restaria \frac{1}{6} para t_{1}=1 e t_{1}=2 juntos — faz sentido porque somente muito poucos pares em B têm t_{1} igual a 1 ou 2 (na verdade só (2,4) tem t_{1}=2 e nenhum tem t_{1}=1, então é coerente).

Resposta

a) \tfrac{1}{2}
b) \tfrac{1}{3}

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