Em um mesmo instante foram medidas as temperaturas em duas regiões A e B, obtendo-se, respectivamente, os resultados x e y, em grau Celsius. Essas medidas podem ser relacionadas pelas equações: 3 x-2 y=-1 e 6 x+k y=6, em que k é uma constante real. Pode-se concluir que:
a. k=-1
b. k \neq-1
c. k=2
d. k \neq-4
e. k \neq 0

Passo 1

O enunciado dá duas equações que relacionam as medidas de temperatura x e y:
3x-2y=-1
6x+ky=6
onde k é uma constante real. Pergunta-se qual das alternativas é verdadeira com base nessas equações. Importante: como as temperaturas x e y foram efetivamente medidas no mesmo instante, deve existir pelo menos um par (x,y) que satisfaça simultaneamente as duas equações — ou seja, o sistema deve ser compatível (ter solução).

Passo 2

Método (eliminação): vou eliminar x para obter uma relação entre k e y. Multiplico a primeira equação por 2 para igualar os coeficientes de x:
2\cdot(3x-2y) = 2\cdot(-1)
6x-4y=-2
Agora subtraio essa equação da segunda dada (6x+ky=6):
(6x+ky)-(6x-4y)=6-(-2)
O que simplifica para
(k+4)y=8.

Passo 3

Interpretação da equação (k+4)y=8:
  • Se k+4\neq 0 (isto é, k\neq -4), então pode-se isolar y e obter
y=\frac{8}{k+4},
o que fornece um valor de y. Substituindo esse y em uma das equações originais obtém-se um valor de x. Portanto, quando k\neq -4 o sistema tem solução única (compatível e determinado).

Passo 4

Caso especial k=-4: se k=-4 a igualdade obtida no Passo 2 vira
0\cdot y = 8,
ou seja
0=8,
que é uma contradição. Outra forma de ver: para k=-4 a segunda equação fica
6x-4y=6,
enquanto a primeira multiplicada por 2
6x-4y=-2.
Não é possível que 6x-4y seja simultaneamente 6 e -2. Logo, para k=-4 o sistema é incompatível (não tem solução).

Passo 5

Conclusão lógica: como as temperaturas x e y foram medidas e portanto existe pelo menos um par (x,y) que satisfaça as duas equações, o sistema deve ser compatível. Isso exige que k\neq -4. Entre as alternativas dadas, a que expressa isso é a alternativa d.

Resposta

(d)

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