Resolver os seguintes problemas de valores iniciais usando transformada de Laplace.
com as condições iniciais
x(0)=2 e
dotx(0)=0 .
Passo 1
O enunciado apresenta a EDO de segunda ordem
onde
com
x(0)=2 e
dotx(0)=0 . O conteúdo é o uso da transformada de Laplace para resolver valores iniciais e funções definidas por partes.
Passo 2
Aplicamos
L em ambos os lados. Sabemos que
Como
sua transformada é
Passo 3
Substituindo na EDO transformada:
Logo
Passo 4
Para decompor
2s(s^2+4) , escrevemos
Igualando numeradores:
vem
A+B=0 e
4A=2 , logo
A=tfrac12 ,
B=-tfrac12 . Assim
Passo 5
Separando em termos invertíveis:
Invertendo:
Pelo deslocamento
e^-4s gera
u(t-4) aplicado à parte
tfrac12-tfrac12cos(2t) .
Passo 6
Somando tudo e simplificando:
que reorganiza em
Resposta
ou, de modo equivalente,