Resolver os seguintes problemas de valores iniciais usando transformada de Laplace.
ddotx(t)+4 x(t)=f(t)=ll2, & 0<t <= 4 ; 0, & 4 <= t ; com as condições iniciais x(0)=2 e dotx(0)=0.

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO de segunda ordem
ddotx(t)+4,x(t)=f(t),
onde
f(t)= 2, & 0<t<=4, 0, & t>=4,
com x(0)=2 e dotx(0)=0. O conteúdo é o uso da transformada de Laplace para resolver valores iniciais e funções definidas por partes.

Passo 2

Aplicamos L em ambos os lados. Sabemos que
Lddot x=s^2X(s)-s,x(0)-dot x(0) e Lx=X(s)
Como
f(t)=2l(u(t)-u(t-4)r),
sua transformada é
Lf =2l(1s-e^-4ssr)

Passo 3

Substituindo na EDO transformada:
s^2X(s)-2s+4X(s) =2l(1s-e^-4ssr)
Logo
(s^2+4)X(s)=2s+2l(1s-e^-4ssr) Longrightarrow X(s) =2ss^2+4 +2l(1-e^-4sr)s(s^2+4)

Passo 4

Para decompor 2s(s^2+4), escrevemos
2s(s^2+4) =As+Bss^2+4
Igualando numeradores:
2=A(s^2+4)+Bscdot s =(A+B)s^2+4A,
vem A+B=0 e 4A=2, logo A=tfrac12, B=-tfrac12. Assim
2s(s^2+4) =tfrac12s-tfrac12,ss^2+4

Passo 5

Separando em termos invertíveis:
X(s) =2ss^2+4 +2l(tfrac12s-tfrac12,ss^2+4r) -2,e^-4ss(s^2+4)
Invertendo:
L^-1ltfrac2ss^2+4r=2cos(2t), L^-1ltfrac12sr=tfrac12, L^-1l-tfrac12, tfracss^2+4r=-tfrac12cos(2t)
Pelo deslocamento e^-4s gera u(t-4) aplicado à parte tfrac12-tfrac12cos(2t).

Passo 6

Somando tudo e simplificando:
x(t) =2cos(2t)+l(tfrac12-tfrac12cos(2t)r) -u(t-4)l(tfrac12-tfrac12cosl(2(t-4)r)r),
que reorganiza em
x(t) =1+cos(2t);-,u(t-4)l(1-cosl(2(t-4)r)r)

Resposta

x(t) =1+cos(2t)-u(t-4)l(1-cosl(2(t-4)r)r),
ou, de modo equivalente,
x(t)= 1+cos(2t),&0<= t<4, cos(2t)+cosl(2(t-4)r),&t>=4

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