Calcule os limites:
Passo 1
A questão pede o cálculo do limite
Este tipo de limite dá 0/0, então vamos usar séries de Taylor (expansões em potências de x) e a fórmula de binômio de Newton para raízes quadradas. Precisaremos das expansões de
e
até ordem 3 e da expansão de
até
.
Passo 2
Começamos pelas séries de
e
em torno de
:
Essas fórmulas vêm das expansões conhecidas de funções trigonométricas.
Passo 3
Para expandir
até o termo cúbico usamos o binômio de Newton:
Passo 4
Agora substituímos
e
nessas expansões, retendo termos até
.
Para :
Para
Fazendo as contas até ordem 3 obtemos
Para
:
que dá
Passo 5
Subtraindo as duas expansões e dividindo por
:
Logo
À medida que
, o termo
some.
Passo 6
Então o limite procurado é simplesmente o coeficiente constante obtido, que vale
.