Calcule os limites:
lim x 0 raiz1+tan x-raiz1+sen xx^3

Passo 1

A questão pede o cálculo do limite
limxto 0raiz1+tan x-raiz1+sin xx^3
Este tipo de limite dá 0/0, então vamos usar séries de Taylor (expansões em potências de x) e a fórmula de binômio de Newton para raízes quadradas. Precisaremos das expansões de tan x e sin x até ordem 3 e da expansão de raiz1+u até u^3.

Passo 2

Começamos pelas séries de tan x e sin x em torno de x=0:
tan x = x + x^33 + O(x^5),
sin x = x - x^36 + O(x^5)
Essas fórmulas vêm das expansões conhecidas de funções trigonométricas.

Passo 3

Para expandir raiz1+u até o termo cúbico usamos o binômio de Newton:
raiz1+u = (1+u)^1/2 = 1 + 12u - 18u^2 + 116u^3 + O(u^4)

Passo 4

Agora substituímos u=tan x e u=sin x nessas expansões, retendo termos até x^3.
Para raiz1+tan x:
raiz1+tan x = 1 + 12l(x+tfracx^33r) - 18l(x+tfracx^33r)^2 + 116l(x+tfracx^33r)^3 + O(x^4)
Fazendo as contas até ordem 3 obtemos
raiz1+tan x = 1 + x2 - x^28 + 1148x^3 + O(x^4)
Para raiz1+sin x:
raiz1+sin x = 1 + 12l(x-tfracx^36r) - 18l(x-tfracx^36r)^2 + 116l(x-tfracx^36r)^3 + O(x^4)
que dá
raiz1+sin x = 1 + x2 - x^28 - 148x^3 + O(x^4)

Passo 5

Subtraindo as duas expansões e dividindo por x^3:
raiz1+tan x-raiz1+sin x = l(1148 + 148r)x^3 + O(x^4) = x^34 + O(x^4)
Logo
raiz1+tan x-raiz1+sin xx^3 = 14 + O(x)
À medida que xto0, o termo O(x) some.

Passo 6

Então o limite procurado é simplesmente o coeficiente constante obtido, que vale tfrac14.

Resposta

1/4

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